Főmenü megnyitása

Erősen összetett számok

(Erősen összetett szám szócikkből átirányítva)

Egy erősen összetett szám (highly composite number, HCN) olyan pozitív egész szám, melynek több osztója van bármelyik nála kisebb pozitív egésznél. A kifejezést elsőként Rámánudzsan használta 1915-ben – Jean-Pierre Kahane szerint azonban visszavezethető Platónig, aki szerint 5040 a városlakók ideális száma, mivel 5040-nek több osztója van a kisebb számoknál.[1]

Kapcsolódó fogalom a nagyon összetett szám, ami olyan pozitív egészekre vonatkozik, aminek legalább annyi osztója van, mint bármely nála kisebb pozitív egésznek.

PéldákSzerkesztés

Az első, avagy legkisebb 38 erősen összetett szám listája: (A002182 sorozat az OEIS-ben)

Sorszám HCN
n
prímtényezős
felbontás
prímek
kitevői
prím-
tényezők
d(n) prímoriális
felbontás
1 1 0 1
2* 2   1 1 2  
3 4   2 2 3  
4* 6   1,1 2 4  
5* 12   2,1 3 6  
6 24   3,1 4 8  
7 36   2,2 4 9  
8 48   4,1 5 10  
9* 60   2,1,1 4 12  
10* 120   3,1,1 5 16  
11 180   2,2,1 5 18  
12 240   4,1,1 6 20  
13* 360   3,2,1 6 24  
14 720   4,2,1 7 30  
15 840   3,1,1,1 6 32  
16 1260   2,2,1,1 6 36  
17 1680   4,1,1,1 7 40  
18* 2520   3,2,1,1 7 48  
19* 5040   4,2,1,1 8 60  
20 7560   3,3,1,1 8 64  
21 10080   5,2,1,1 9 72  
22 15120   4,3,1,1 9 80  
23 20160   6,2,1,1 10 84  
24 25200   4,2,2,1 9 90  
25 27720   3,2,1,1,1 8 96  
26 45360   4,4,1,1 10 100  
27 50400   5,2,2,1 10 108  
28* 55440   4,2,1,1,1 9 120  
29 83160   3,3,1,1,1 9 128  
30 110880   5,2,1,1,1 10 144  
31 166320   4,3,1,1,1 10 160  
32 221760   6,2,1,1,1 11 168  
33 277200   4,2,2,1,1 10 180  
34 332640   5,3,1,1,1 11 192  
35 498960   4,4,1,1,1 11 200  
36 554400   5,2,2,1,1 11 216  
37 665280   6,3,1,1,1 12 224  
38* 720720   4,2,1,1,1,1 10 240  

A következő táblázat megmutatja az egyik ilyen szám összes osztóját.

Az erősen összetett szám: 10080
10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  7
1
×
10080
2
×
5040
3
×
3360
4
×
2520
5
×
2016
6
×
1680
7
×
1440
8
×
1260
9
×
1120
10
×
1008
12
×
840
14
×
720
15
×
672
16
×
630
18
×
560
20
×
504
21
×
480
24
×
420
28
×
360
30
×
336
32
×
315
35
×
288
36
×
280
40
×
252
42
×
240
45
×
224
48
×
210
56
×
180
60
×
168
63
×
160
70
×
144
72
×
140
80
×
126
84
×
120
90
×
112
96
×
105
Megjegyzés:  A félkövér számok maguk is erősen összetett számok.
Csak a huszadik erősen összetett szám, 7560 (= 3 × 2520) hiányzik.
A 10080 egy úgynevezett 7-sima szám (A002473 sorozat az OEIS-ben).

A 15 000. erősen összetett szám megtalálható Achim Flammenkamp weboldalán. 230 prím szorzata adja ki:

 

ahol   egymást követő prímszámok sorozata, és a kihagyott tagok (a22-tól a228-ig) egyes kitevőjű tényezők (tehát másként felírva a szám  ).[2]

 
Az 1–1000 közötti egész számok osztóinak száma. Az első 15 erősen összetett szám félkövéren látható.

Prímtényezős felbontásSzerkesztés

Ahhoz, hogy egy szám erősen összetett legyen, nagyjából arra van szükség, hogy lehetőleg minél kisebb prímtényezői legyenek, de ne legyen túl sok egyforma belőlük. A számelmélet alaptétele szerint minden pozitív egész n egyedi prímtényezős felbontással rendelkezik:

 

ahol   prímszámok, a   kitevők pedig pozitív egész számok.

Az n bármely osztójának prímenként kisebb vagy egyenlő multiplicitással kell rendelkeznie, mint n-nek:

 

Tehát n osztóinak száma:

 

Ezért, n akkor lehet erősen összetett szám, hogyha

  • a k db pi prímszám pontosan az első k prímszámmal (2, 3, 5, ...) egyezik meg; ha nem így lenne, valamelyik prímszámot lecserélhetnénk kisebb prímszámra, így n-nél kisebb számot kapnánk ugyanannyi osztóval (például a 10 = 2 × 5 esetében a lecserélt 6 = 2 × 3 számnak ugyanúgy 4 osztója van);
  • a kitevők sorozatának nem növekvőnek kell lennie, tehát  ; egyébként két kitevő kicserélésével az előző példához hasonlóan n-nél kisebb számot kapnánk ugyanannyi osztóval (például 18 = 21 × 32 kicserélhető a 12 = 22 × 31 számra; mindkettőnek 6 osztója van).

Továbbá, a két speciális eset n = 4 és n = 36 kivételével, az utolsó ck kitevőnek 1-nek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy kizárólag az 1, a 4 és a 36 négyzetszám az erősen összetett számok közül. Az, hogy a kitevők sorozata nem növekvő, ekvivalens azzal az állítással, hogy az erősen összetett számok prímoriálisok szorzataként állnak elő.

Aszimptotikus növekedés és sűrűségSzerkesztés

Ha Q(x) jelöli az x-nél nem nagyobb erősen összetett számok számát, akkor létezik két, 1-nél nagyobb a és b konstans, melyekre igaz, hogy

 

Az egyenlőtlenség első részét Erdős Pál bizonyította 1944-ben, a másodikat Jean-Louis Nicolas 1988-ban. A konstansokra a jelenlegi legjobb közelítés[3]

 

és

 

Kapcsolódó sorozatokSzerkesztés

A 6-nál nagyobb erősen összetett számok egyben bővelkedő számok is, ami egy adott erősen összetett szám három-négy legnagyobb osztójára nézve azonnal nyilvánvaló. Téves az az állítás, hogy az erősen összetett számok tízes számrendszerben mind Harshad-számok lennének. Az első HCN, ami nem Harshad-szám a 245 044 800, melynek számjegyösszege 27, ami nem osztója a 245 044 800-nak.

Az első 38 erősen összetett számból 10 egyben kiváló erősen összetett szám is. Az erősen összetett számok sorozata (A002182 sorozat az OEIS-ben) részsorozata a pontosan n osztóval rendelkező legkisebb k számok sorozatának (A005179 sorozat az OEIS-ben).

Egy n pozitív egész nagyon összetett szám, ha d(n) ≥ d(m) minden mn-re. A nagyon összetett számokat számláló QL(x) függvény eleget tesz a

 

egyenlőtlenségnek minden pozitív c,d-re, amennyiben  .[4][5]

Mivel az erősen összetett számok prímtényezős felbontásában az első k prím hiány nélkül szerepel, ezért minden erősen összetett szám egyben praktikus szám is.[6] Az ilyen számok közül sokat használtak hagyományos mértékegységrendszerek váltószámaként, mérnöki tervekben, mert jól kezelhetők a törtekkel való számítások során.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

FordításSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Kahane, Jean-Pierre (February 2015), "Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'øeuvre", Bulletin of the American Mathematical Society 62 (2): 136–140. Kahane cites Plato's Laws, 771c.
  2. Flammenkamp, Achim, Highly Composite Numbers, <http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html>.
  3. Sándor et al (2006) p.45
  4. Sándor et al (2006) p.46
  5. Nicolas, Jean-Louis (1979). „Répartition des nombres largement composés” (French nyelven). Acta Arith. 34, 379–390. o.  
  6. Srinivasan, A. K. (1948), "Practical numbers", Current Science 17: 179–180, <http://www.ias.ac.in/jarch/currsci/17/179.pdf>.

További információkSzerkesztés