Főmenü megnyitása
pn# n függvényében, logaritmikus skálán
n# n függvényében (piros pöttyök), n!-hoz hasonlítva, logaritmikus skálán

A számelmélet területén a primoriális (primorial) olyan természetes számokon értelmezett függvény, ami nagyon hasonlóan működik a faktoriálishoz, de ahelyett, hogy a pozitív egész számokat szorozná össze sorban, csak a prímszámokon fut végig.

A primoriálisnak két, egymásnak ellentmondó definíciója létezik: az első a függvény argumentumát a prímszámok sorozatának indexeként értelmezi (így a függvény szigorúan monoton növekvő), a második az argumentumot az összeszorzandó prímszámok felső határaként értelmezi (tehát bármely n összetett számhoz tartozó függvényérték ugyanakkora, mint az n−1-hez tartozó). A szócikk a továbbiakban a második definíciót használja.

A Harvey Dubnernek tulajdonított primoriális elnevezés a prímszámokra utal, hasonlóan ahhoz, ahogy a faktoriális a faktorokra.

Definíció prímszámokraSzerkesztés

Ha az n-edik prímszámot pn-nel jelöljük, akkor a pn# primoriálist az első n prímszám szorzataként határozzuk meg:[1][2]

 

ahol pk a k-adik prímszám.

Például p5# az első 5 prímszám szorzatát jelzi:

 

Az első hat pn# primoriális:

1, 2, 6, 30, 210, 2310. (A002110 sorozat az OEIS-ben)

A sorozat tartalmazza üres szorzatként a p0# = 1 értéket is.

Aszimptotikusan a pn# primoriálisok a

  képlet szerint nőnek,

ahol   a kis ordó jelölés.[2]

Definíció természetes számokraSzerkesztés

Általánosságban, pozitív n egészekre is definiálható az n# primoriáils, méghozzá az n-nél nem nagyobb prímek produktumaként:[1][3]

 

ahol   a prímszámláló függvény (A000720 sorozat az OEIS-ben), ami az n-nél nem nagyobb prímek számát adja meg.

Ami ekvivalens a következővel:

 

Például a 12# a 12-nél nem nagyobb prímszámok szorzatát jelképezi:

 

Mivel  , ez a következőképp is számítható:

 

Tekintsük az első 12 n# primoriálist:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vegyük észre, hogy összetett n-ekre az n# egyszerűen megismétli a megelőző értéket (n − 1)#, a definíció szerint. A fenti példában 12# = p5# = 11#, mivel 12 összetett szám.

Az első Csebisev-függvény  vagy  , ami az n# természetes alapú logaritmusát határozza meg, nagy n értékekre a lineáris n függvényt közelíti.[4]

Tehát:

 

Az elgondolás, hogy minden ismert prímszámot egymással össze kell szorozni felmerül a prímszámok végtelenségére vonatkozó több bizonyításban is, ahol ennek segítségével látják be egy másik prímszám szükségképpeni létezését.

Alkalmazásai és tulajdonságaiSzerkesztés

A primoriálisok fontos szerepet töltenek be az egymástól ugyanakkora távolságra lévő prímszámok keresésében. Például a 2236133941 + 23# egy olyan prímszámot ad, ami egy 13, egymástól 23#-ra lévő prímszámból áll és 5136341251-ra végződik. A 15 és 16 tagú számtani prímsorozatok között is gyakran 23# a differencia.

Minden erősen összetett szám primoriálisok szorzatával áll elő (pl. 360 = 2·6·30).[5]

A primoriálisok négyzetmentesek, mindegyikük több egyedi prímtényezővel rendelkezik a nála kisebb számoknál. Minden n primoriálisra a   tört kisebb, mint bármely nála kisebb egész esetében, ahol   az Euler-függvényt jelenti.

Bármely teljesen multiplikatív függvényt meghatároznak a primoriálisoknál felvett értékei, hiszen a prímeken felvett értékei meghatározzák a függvényt, ami pedig a szomszédos primoriálisok értékeinek elosztásával megkapható.

A primoriális szám-alapú számrendszerek (nem összetévesztendő a primoriális számrendszerrel jellemzője, hogy az ismétlődő szakaszos törtek ritkábban fordulnak elő, mint az alacsonyabb alapszámú számrendszerekben.

Minden primoriális ritkán tóciens szám.[6]

Minden primoriális praktikus szám.

MegjelenéseSzerkesztés

A Riemann-féle zéta-függvény 1-nél nagyobb pozitív egészenek kifejezhető[7] a primoriálisok és a   Jordan-függvény segítségével:

 

Pirmoriálisok táblázataSzerkesztés

n n# pn pn#
0 1 nem prím 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410
16 30030 53 32589158477190044730
17 510510 59 1922760350154212639070
18 510510 61 117288381359406970983270
19 9699690 67 7858321551080267055879090
20 9699690 71 557940830126698960967415390

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Primorial című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b Weisstein, Eric W.: Primorial (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  2. a b (A002110 sorozat az OEIS-ben)
  3. (A034386 sorozat az OEIS-ben)
  4. Weisstein, Eric W.: Chebyshev Functions (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  5. Sloane's A002182: Highly composite numbers
  6. (1986) „On sparsely totient numbers”. Pac. J. Math. 121, 407–426. o. DOI:10.2140/pjm.1986.121.407. ISSN 0030-8730.  
  7. (2013) „The Primorial and the Riemann zeta function”. The American Mathematical Monthly 120 (4), 321. o.  
  • (1987) „Factorial and primorial primes”. J. Recr. Math. 19, 197–203. o.