Négyzetmentes szám
A számelméletben a négyzetmentes számok azok a természetes számok, amelyek nem oszthatók 1-nél nagyobb szám négyzetével.
Az első néhány négyzetmentes szám:
Tulajdonságaik
szerkesztésEgy n természetes szám pontosan akkor négyzetmentes, ha prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel. Úgy is mondhatjuk, hogy n különböző prímek szorzata. Hogyha p prím, és osztója n-nek, akkor p nem osztója n/p-nek. Egy további ekvivalens meghatározás, hogy ha n=ab, akkor a és b relatív prímek.
A μ(n) Möbius-függvény pontosan akkor nem 0, ha n négyzetmentes.
Egy egész szám radikálja mindig négyzetmentes. Egy egész szám akkor és csak akkor egyezik meg radikáljával, ha négyzetmentes.
Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha minden n rendű Abel-csoport izomorf. Az izomorfia erejéig egyértelmű csoport ciklikus. Ez a végesen generált Abel-csoportok alaptételének következménye.
Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha a Z / nZ gyűrű testek szorzata. Ez következik a kínai maradéktételből és abból következik, hogy Z / kZ akkor és csak akkor test, ha k prím.
Minden pozitív számra a szám pozitív osztói disztributív hálót alkotnak az oszthatósággal, mint rendezéssel. Ez akkor és csak akkor Boole-algebra, ha a szám négyzetmentes.
Dirichlet-generátorfüggvény
szerkesztésA négyzetmentes számok Dirichlet-generátorfüggvénye
- ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény.
Ez látható az Euler-szorzatból:
A négyzetmentes számok eloszlása
szerkesztésHa Q(x) jelöli a négyzetmentes számok számát 1 és x között, akkor
(lásd π és O jelölés). A négyzetmentes számok sorozatának sűrűsége tehát
ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Ezt 1885-ben Gegenbauer bizonyította.
Ebből az is levezethető, hogy végtelen sokszor teljesül, hogy 3 egymásutáni pozitív egész mindegyike négyzetmentes. Bizonyítás: tegyük fel indirekten, hogy ez nem igaz, ekkor közül az első biztos nem négyzetmentes, hiszen osztható 4-gyel, a másik három közül pedig csak legfeljebb 2 lehet négyzetmentes az indirekt feltevés miatt, de akkor a négyzetmentes számok sűrűsége legfeljebb lenne, ami kisebb, mint . Az ellentmondás bizonyítja az állítást.
Hasonlóan, ha Q(x,n) jelöli az n-edik hatványmentes számok számát x-ig, akkor
Kódolás bináris számokként
szerkesztésA négyzetmentes számok felírhatók, mint:
Tekinthetjük az számokat egy kettes számrendszerbeli szám jegyeinek:
Például a 42 négyzetmentes, és felbontása 2 × 3 × 7; végtelen szorzatként · 50 · 71 · 110 · 130 · ...; Így a megfelelő kettes számrendszerbeli szám ...001011, ami tízes számrendszerben 11.
A számelmélet alaptétele kimondja, hogy egy egész prímtényezős felbontása lényegében egyértelmű, ezért a fenti kódolás is egyértelmű. Megfordítva, minden pozitív egész szám dekódolható négyzetmentes számként, mivel a kettes számrendszerbeli reprezentáció is egyértelmű.
Például, ha most ismét a 42-ből indulunk ki, akkor ennek kettes számrendszerbeli alakja 101010. Innen a hozzá rendelt négyzetmentes szám 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273.
A dekódolt négyzetmentes számok nagysága alapján a pozitív egészek permutációját kapjuk. Lásd A019565, A048672 és A064273.
Sejtések
szerkesztésErdős sejtette, hogy a középső binomiális együttható:
n>4 esetén sohasem négyzetmentes. Elég nagy egészekre belátta Sárközy András 1985-ben,[1] és 1996-ban igazolta Olivier Ramaré és Andrew Granville.[2]
Egy ma még nyitott sejtés szerint minden Fermat-szám négyzetmentes.
Négyzetmentes mag
szerkesztésA multiplikatív függvény a pozitív egész számokhoz (n) a t-mentes számokat rendeli, ahol a prímhatványok kitevőit modulo t tekinti:
Speciálisan, a értékkészlete a négyzetmentes számokból áll. Dirichlet-generátorfüggvényük
- .
Jegyzetek
szerkesztésForrások
szerkesztés- (1996) „Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients”. Mathematika 43, 73–107. o. DOI:10.1112/S0025579300011608.
- Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 0-387-20860-7
Fordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Square-free integer című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.