Klikkszélesség

gráfelméleti fogalom
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. november 10.

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy gráf klikkszélessége (clique-width) a gráf szerkezetének bonyolultságát leíró paraméter; közeli rokona a faszélességnek, de attól eltérő módon, sűrű gráfokon is korlátos lehet az értéke. A definíció szerint értéke megegyezik a gráf konstruálásához szükséges címkék minimális számával, ha a következő négy művelet engedélyezett:

  1. Felveszünk egy új csúcsot, v-t és i címkével látjuk el (jelölés: i(v) vagy )
  2. Két címkézett gráf, G és H diszjunkt unióját képezzük (jelölés: )
  3. Minden i-vel jelölt csúcsot összekötünk minden j-vel jelölt csúccsal (jelölés: η(i,j)), ahol
  4. Átnevezzük az i címkét j-re (jelölés: ρ(i,j) )
Egy 3 klikkszélességű távolság-örökletes gráf konstrukciója diszjunkt uniókkal, átcímkézésekkel és címke-egyesítésekkel. A címkéket az ábrán színek jelzik.

A korlátos klikkszélességű gráfok közé tartoznak a kográfok és a távolság-örökletes gráfok is. Bár általános esetben a klikkszélesség meghatározása NP-nehéz feladat, és nem tudjuk, vajon polinom időben kiszámítható-e abban az esetben, ha korlátos, ismert több hatékony közelítő algoritmus a klikkszélesség kiszámítására. Ezekre az algoritmusokra és a Courcelle-tételre alapozva számos, általános gráfokon NP-nehéz gráfoptimalizálási probléma gyorsan megoldható vagy közelíthető a korlátos klikkszélességű gráfokon.

A klikkszélesség fogalmához szükséges konstrukciós lépéseket Courcelle, Engelfriet és Rozenberg fogalmazta meg 1990-ben [1], majd (Wanke 1994). A „klikkszélesség” kifejezést először (Chlebíková 1992) használta egy másik fogalom leírására, de 1993-ra már a jelenlegi értelemben használták.[2]

 
A   konstrukciós lépéseinek kifejezés-fája

A 6 csúcsból álló   gráf klikkszélessége nem nagyobb 3-nál, mivel a következő műveletek segítségével előállítható:

Klikkszélesség-művelet A gráf vizualizációja
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Az előállított  -művelet a következő:

 

A jobb oldalon látható az   3-kifejezés fája.

Speciális gráfosztályok

szerkesztés

A kográfok megegyeznek azokkal a gráfokkal, melyek klikkszélessége legfeljebb 2.[3] A távolság-örökletes gráfok klikkszélessége legfeljebb 3. Az egység-intervallumgráfok klikkszélessége azonban (rácsos szerkezetük miatt) korlátlan.[4] Hasonlóan, a páros permutációgráfok klikkszélessége (hasonlóan a rácsos szerkezet maitt) korlátlan.[5] A kográfok egyik karakterizálása szerint ezek a gráfok, melyeknek nincs négy csúcsból álló húrmentes úttal izomorf feszített részgráfja. Ebből kiindulva számos, tiltott feszített részgráfok alapján meghatározott gráfcsalád klikkszélességét sikerült megállapítani.[6]

A korlátos klikkszélességű gráfok közé tartoznak még a k-adik levélhatványok is a k korlátos értékeire; ezek a Tk gráfhatvány T levelei által kifeszített részgráfjai. A nem korlátos kitevőjű levélhatványok esetében azonban a klikkszélesség sem korlátos.[7]

(Courcelle & Olariu 2000) és (Corneil & Rotics 2005) egyes gráfok klikkszélességével kapcsolatban a következőket igazolták:

  • Ha egy gráf klikkszélessége legfeljebb k, akkor ez igaz a gráf minden feszített részgráfjára is.[8]
  • Egy k klikkszélességű gráf komplementerének klikkszélessége legfeljebb 2k.[9]
  • A w faszélességű gráfok klikkszélessége legfeljebb 3 · 2w − 1. A korlátban szereplő exponenciális tag szükséges: ténylegesen léteznek olyan gráfok, melyek klikkszélessége exponenciálisan nagyobb a faszélességüknél.[10] Megfordítva, a korlátos klikkszélességű gráfok rendelkezhetnek korlátlan faszélességgel; például az n csúcsú teljes gráfok klikkszélessége 2, míg faszélességük n − 1. Azoknak a k klikkszélességű gráfoknak viszont, melyek nem tartalmazzák a Kt,t teljes páros gráfot részgráfként, legfeljebb 3k(t − 1) − 1 lehet a faszélességük. Így aztán, tetszőleges ritka gráfcsaládra igaz, hogy a korlátos faszélesség ekvivalens a korlátos klikkszélességgel.[11]
  • Egy további gráfparamétert, a rangszélességet (rank-width) mindkét irányból korlátok közé szorít a klikkszélesség: rangszélesség ≤ klikkszélesség ≤ 2rangszélesség + 1.[12]

Igaz továbbá, hogy ha a G gráf klikkszélessége k, akkor a Gc gráfhatvány klikkszélessége legfeljebb 2kck.[13] Bár mind a klikkszélesség a faszélesség szerinti korlátjában, mind klikkszélesség gráfhatvány szerinti korlátjában exponenciális rés szerepel, ezeknek a korlátok nem szorzódnak össze: ha a G gráf faszélessége w, akkor Gc klikkszélessége legfeljebb 2(c + 1)w + 1 − 2, ami a faszélességnek csak egyszeresen exponenciális függvénye.[14]

Számítási bonyolultság

szerkesztés
  A matematika megoldatlan problémája:
Felismerhetők-e polinom időben a korlátos klikkszélességű gráfok?
(A matematika további megoldatlan problémái)

Számos, általánosabb gráfosztályokon NP-nehéz optimalizálási probléma korlátos klikkszélességű gráfokon dinamikus programozás segítségével hatékonyan megoldható, ha ezen gráfok konstrukciós lépései ismertek.[15][16] Közelebbről, minden gráftulajdonság, aminek létezése kifejezhető a gráftulajdonságokat logikai műveletekkel, kvantorokkal stb. leíró MSO1 monadikus másodrendű logika segítségével, a Courcelle-tétel egy változata alapján lineáris idejű algoritmussal eldönthető.[16]

Polinom időben lehetséges továbbá a korlátos klikkszélességű gráfok optimális gráfszínezését és Hamilton-körét megtalálni, ha a konstrukciós lépések ismertek, de a polinom kitevője a klikkszélességgel növekszik, és a számítási bonyolultságelmélet bizonyítékai arra mutatnak, hogy ettől a függőségtél valószínűleg nem lehet eltekinteni.[17] A korlátos klikkszélességű gráfok χ-korlátosak, vagyis kromatikus számuk legfeljebb a legnagyobb klikk méretének függvénye lehet.[18]

A három klikkszélességű gráfok polinom időben felismerhetők, és konstrukciós lépéseik is előállíthatók egy splitfelbontás-alapú algoritmussal.[19] A nem korlátos klikkszélességű gráfok esetén NP-nehéz a klikkszélesség pontos megállapítása, ahogy a szublineáris additív hibával történő approximációja is.[20] Ha azonban a klikkszélesség korlátos, egy korlátos szélességű (exponenciálisan nagyobb mint a tényleges klikkszélesség) konstrukciós lépéssorozat polinom időben előállítható.[21] Nyitott egyelőre az a kérdés, hogy a pontos klikkszélesség, vagy akár egy pontosabb approximációja kiszámítható-e rögzített paraméter mellett kezelhető időben, polinom időben kiszámítható-e minden rögzített klikkszélesség-korlát esetén, vagy akár a négy klikkszélességű gráfok felismerhetők-e a polinom időben.[20]

Faszélességgel való kapcsolata

szerkesztés

A korlátos klikkszélességű gráfok elmélete hasonlít a korlátos faszélességű gráfokéhoz, de azoktól eltérően sűrű gráfokkal is foglalkozik. Ha egy gráfcsalád klikkszélessége korlátos, akkor vagy a faszélessége is korlátos, vagy minden teljes páros gráf a család valamely tagjának részgráfja.[11] A faszélesség és a klikkszélesség az élgráfokon keresztül is összekapcsolódik: egy gráfcsalád pontosan akkor korlátos faszélességű, ha élgráfjaiknak klikkszélessége korlátos.[22]

Fordítás

szerkesztés
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Clique-width című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.