A matematikában a Legendre-féle khi-függvény egy olyan függvény, amelynek a Taylor-sora megegyezik a Dirichlet-sorával. Azaz
![{\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85641adbee29a8bcc80b59bbc30f310923b02336)
Ezzel a polilogaritmus Dirichlet-sorára hasonlít, és valóban kifejezhető a polilogaritmussal:
![{\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473961aafa254e0c6ed4568ee2c404996271810b)
Megjelenik a diszkrét Fourier-transzformációban a ν rendet tekintve, a Hurwitz-féle zéta-függvénynél, és az Euler-polinomoknál.
A Lerch-transzcendens speciális esete, és megadható, mint
![{\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652b20dd68973c42c8f5e4ae0b5eda8ac235152e)
-
-
-
-
-
-