Möbius-féle megfordítási formula

Möbius-féle megfordítási formula a matematikában, ezen belül a számelméletben a Möbius-függvény egyik legfontosabb tulajdonságát kimondó képlet. A klasszikus formulát a 19. században alkotta meg August Ferdinand Möbius.

Hasonló képletek kaphatók lokálisan véges részben rendezett halmazok felhasználásával. Lásd: illeszkedési algebra.

Az állításSzerkesztés

Legyen   számelméleti függvény. Definiáljuk a   számelméleti függvényt a

 

képlettel. Ekkor minden n-re

 

teljesül, ahol μ a Möbius-függvény, és az összegzés befutja n pozitív osztóit. A két függvényt egymás Möbius-transzformáltjának nevezik.

Általánosabban, a képlet akkor is működik, ha az f és g függvények a pozitív egészek helyett egy másik Abel-csoportba képeznek.

A Dirichlet-konvolúció jelölésével az első képlet:

 

a második képlet:

 

ahol 1 a konstans 1 függvény, és * a Dirichlet-konvolúció.

BizonyításaSzerkesztés

Felhasználjuk a

 

tulajdonságot.

Eszerint

 
 
 

Másként, a képlet következik abból, hogy   asszociatív és kommutatív, és  , ahol   a Dirichlet-konvolúció identitásfüggvénye, és így definiálható:

  és   minden  -re.

Emiatt  .

RelációkSzerkesztés

Legyen

 

úgy, hogy

 

a transzformációja. A transzformáció a sorok segítségével elvégezhető: a Lambert-sor

 

és a Dirichlet-sor:

 

ahol   a Riemann-féle zéta-függvény.

Ismételt transzformációkSzerkesztés

Egy adott számtani függvényből függvények egy mindkét irányban végtelen sorozata kapható az összegzési és a megfordítási képletek többszöri alkalmazásával.

Például a   függvénnyel kezdve:

  1.   az Euler-függvény
  2.   ahol   az identitásfüggvény
  3.  , az osztóösszeg-függvény

A Möbius-függvénnyel kezdve:

  1.  , a Möbius-függvény
  2.   ahol   az egységfüggvény
  3.  , a konstans függvény
  4.  , ahol   az n osztóinak számát adja meg.

Mindegyik lista folytatható mindkét irányba a Möbius-féle megfordítási formula felhasználásával:

Például  -vel indulva:

 

A Dirichlet-sorok segíthetnek megérteni ezeket a függvényeket. A transzformáció minden egyes alkalmazása megfelel a Riemann-féle zéta-függvénnyel való szorzásnak.

ÁltalánosításokSzerkesztés

Egy leginkább a kombinatorikában használt hasonló megfordítási képlet a következő: Legyen F(x) és G(x) az [1,∞) intervallumon értelmezett komplex értékű függvény. Ekkor, hogyha

 ,

akkor

 

Itt az összegzés minden pozitív egészre megy, ami kisebb vagy egyenlő, mint x.

Ez egy még általánosabb képlet speciális esete. Ha az   számelméleti függvény Dirichlet-inverze  , akkor

 

és

 

Ez az   konstans függvény példáján látható a legjobban, aminek Dirichlet-inverze

 .

Az első kiterjesztés részleges alkalmazása az f(n) és g(n) pozitív egészeken értelmezett komplex értékű függvényekre, ahol

 

Az   és   függvények bevezetésével:

 

A képlet egy egyszerű felhasználási példája a tovább nem egyszerűsíthető törtek megszámlálását, ha 0 < a/b < 1 és bn. EZ azt is jelenti, hogy a számláló és a nevező relatív prímek. Jelöljük ezt a számot f(n)-nel. Ekkor a fenti számításokkal kapott g(n) azoknak a törteknek a száma, amelyekre bn, és a számláló és a nevező nem feltétlenül relatív prím. Ez így látható be: Ha az a/b törtben a és b legnagyobb közös osztója d, és bn, akkor a tört tovább nem egyszerűsíthető alakja (a/d)/(b/d), ahol b/dn/d. Innen már egyszerű, hogy g(n) = n(n-1)/2, de f(n) nehezebben számítható.

Egy másik megfordítási képlet, ha a benne szereplő sorok abszolút folytonosak:

 

Ez szintén azt az esetet általánosítja, hogy   számelméleti függvény, és Dirichlet-inverze  :

 

Az általánosítások bizonyításaSzerkesztés

A következőkben Iverson konvencióját használjuk, ami szerint az igaz számértéke 1, a hamis számértéke 0. Az első általánosítás bizonyításához felhasználjuk, hogy  , vagyis 1*μ=i.

Ezután így folytatjuk a számolást:  

A második általánosítás hasonlóan bizonyítható, kivéve hogy a konstans 1 helyett α(n) szerepel.

ForrásokSzerkesztés

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
  • Sablon:SpringerEOM
  • K. Ireland, M. Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory, (1990) Springer-Verlag

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Möbius inversion formula című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.