Maximális részcsoport

A csoportelméletben maximális részcsoportnak nevezzük az olyan valódi részcsoportot, amely maga nem valódi része egy másik valódi részcsoportnak. Tehát egy adott $G$ csoport $M<G$ részcsoportja akkor maximális, ha $M\neq G$, és nincs olyan $H$ részcsoport, hogy $M\lneqq H\lneqq G$.

Egzisztencia és unicitás

Nem minden csoportnak van maximális részcsoportja. Az egyelemű csoportnak például nincs valódi részcsoportja, így maximális részcsoportja sincsen. A Prüfer-csoport minden valódi részcsoportja része egy bővebb valódi részcsoportnak, így ebben a csoportban sincsen maximális részcsoport.

Ha $G$ nemtriviális véges csoport, akkor $G$-nek van maximális részcsoportja, mi több, minden valódi részcsoport része egy maximális részcsoportnak. Legyen ugyanis $H<G$ egy tetszőleges valódi részcsoport. Ha $H$ maximális, akkor az állítás teljesült. Ha nem, akkor van olyan $H_{1}$, hogy $H<H_{1}<G$. Ha $H_{1}$ maximális, akkor készen vagyunk; ha nem, akkor van olyan $H_{2}$, hogy $H<H_{1}<H_{2}<G$. Az eljárás nem folytatható a végtelenségig, hiszen $G$ maga véges.

Egy csoportnak lehet egynél több maximális részcsoportja. A Klein-csoportnak például három másodrendű részcsoportja is van; ezek mindegyike maximális. Egy csoport maximális részcsoportjainak metszetét Frattini-részcsoportnak nevezzük.

Tulajdonságok

Ha egy csoportnak egyetlen maximális részcsoportja van, akkor azt szükségképpen helyben hagyja minden automorfizmus, és így az ilyen részcsoport karakterisztikus (következésképpen normálosztó).

A maximális részcsoportok szükségképpen modulárisak (azaz ha $A$ maximális $G$-ben és $B,C$ olyan részcsoportjai $G$-nek, hogy $A\leq C$, akkor $\langle A,B\cap C\rangle =\langle A,B\rangle \cap C$). Ilyenkor ugyanis $A\leq C$ azt jelenti, hogy vagy $A=C$ vagy $A=G$. Az első esetben $\langle A,B\cap C\rangle =A=\langle A,B\rangle \cap C$. A második esetben $\langle A,B\cap C\rangle =\langle A,B\rangle =\langle A,B\rangle \cap C$.

Egy $G$ csoport minden maximális részcsoportja pronormális.

Források

• Vipul Naik: Maximal subgroup (angol nyelven). Groupprops. (Hozzáférés: 2014. május 19.)
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK