Karakterisztikus részcsoport

A csoportelméletben karakterisztikus részcsoportnak nevezzük a csoport részcsoportját, ha -t (mint halmazt) minden automorfizmusa fixen hagyja.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   csoport és legyen  .  -t akkor nevezzük karakterisztikus részcsoportnak, ha valahányszor   egy automorfizmusa  -nek, és  , szükségképpen  . Azt a tényt, hogy   karakterisztikus részcsoportja  -nek, így jelöljük:  .

PéldákSzerkesztés

TulajdonságaiSzerkesztés

A „karakterisztikus részcsoportja” reláció tranzitív. Ha tehát   és  , akkor  . Ez azért van, mert   tetszőleges automorfizmusának  -re való megszorítása automorfizmusa  -nek.

Ha  , akkor szükségképpen  , hiszen   éppen azt jelenti, hogy  -t fixen hagyják   belső automorfizmusai, márpedig ha  , akkor  -t az összes automorfizmus fixen hagyja.

Hasonlóképpen látható be az is, hogy ha   és  , akkor  .

  centruma mindig karakterisztikus  -ben, hiszen ha   a centrum eleme, akkor   minden elemmel felcserélhető, ez viszont nyilván  -re is igaz bármilyen   esetén.

ForrásSzerkesztés