Főmenü megnyitása

A matematikában a prím zéta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény analogonja. Az alábbi sorral definiálható, ami konvergens minden -re:

.

TulajdonságokSzerkesztés

A Riemann-féle zéta-függvény Euler-szorzata implikálja, hogy:

 

ami Möbius-inverzióval:

 

Ha s tart az egyhez, akkor  . Ezt a Dirichlet-sűrűség definíciója használja. Továbbá kiterjeszti P(s)-t a   félsíkra, végtelen sok logaritmikus szingularitással azokban a pontokban, ahol ns pólusa vagy zérushelye ζ(s)-nek. A   az értelmezési tartomány természetes határvonala, mivel majdnem minden pontjában szingularitása van a függvénynek.

Ha definiáljuk a

 

sorozatot, akkor

 

ami Li 2.7-edik lemmájával ekvivalens.

A prím zéta-függvény az Artin-konstanshoz is kapcsolódik:

 

ahol Ln az n-edik Lucas-szám.[1]

Speciális értékei:

s P(s) közelítő értéke OEIS
1  
2    A085548
3    A085541
4    A085964
5    A085965
9    A085969

AnalízisSzerkesztés

IntegrálSzerkesztés

A prím zéta-függvény integrálját végtelentől számítják, mivel pólusa  -ben nem teszi lehetővé egy kellemes alsó korlát kitűzését már egyes egész értékekre a ág választása és felvágás nélkül:

 

A fontosabb értékek megint azok, amelyekre az összeg lassan konvergál:

s   közelítő értéke OEIS
1    A137245
2    A221711
3  
4  

DeriváltSzerkesztés

Az első derivált

 

A fontos értékek azok, amikre az integrál lassan konvergál:

s approximate value   OEIS
2    A136271
3  
4  
5  

ÁltalánosításaiSzerkesztés

A Riemann-féle zéta-függvény az egész számok negatív kitevős hatványainak összege, és a prím zéta-függvény a prímek negatív kitevős hatványainak összege. A kettő közötti átmenetet azok a k-prím zéta-függvények adják, amelyekben azoknak az egészeknek a negatív kitevős hatványai adódnak össze, amiknek k, nem feltétlenül különböző prímosztója van:

 

ahol   a prímtényezők totális összege.

k s   közelítő értéke OEIS
2 2    A117543
2 3  
3 2    A131653
3 3  

A Riemann-féle zéta-függvényben a nevezők osztályozhatók a k index szerint, amivel az előáll, mint a   függvények összege:

 

Ha a függvény előállításához csak azokat a prímeket használják, amelyek egy rögzített prímre egy adott maradékosztályba esnek, akkor további végtelen sozrozatok keletkeznek, amelyek a Dirichlet-féle L-függvény redukciói.

ForrásokSzerkesztés

  • (1881) „The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers”. Proceedings of the Royal Society 33, 4–10. o. DOI:10.1098/rspl.1881.0063.  
  • (1968) „On the prime zeta function”. Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 8 (3), 187–202. o. DOI:10.1007/BF01933420.  
  • Glaisher, J. W. L. (1891). „On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers”. Quart. J. Math. 25, 347–362. o.  
  • Sablon:Cite arXiv
  • (2008) „Prime graphs and exponential composition of species”. J. Combin. Theory A 115, 1374—1401. o. DOI:10.1016/j.jcta.2008.02.008.  
  • Sablon:Cite arXiv

Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime zeta function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.