Riemann-féle kszi-függvény

A matematikában a Riemann-féle kszi függvény a Riemann-féle zéta-függvény egy változata, és egyszerű függvényegyenlettel definiálható. Bernhard Riemann után nevezték el.

A $\xi (s)$ Riemann-féle kszi függvény a komplex síkon. Az $s$ pont színe függvény értékét jelöli. A sötétebb színek a nullához közelebbi (kisebb abszolútértékű) értékeket jelentik. A színárnyalat az argumentumszöget jelzi.

Definíciója

Riemann a ξ betűt használta, ezt Landau változtatta nagybetűsre (Ξ). Landua ξ-függvényének definíciója:

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$

ahol $s\in \mathbb {C}$. Ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvényt jelöli, és Γ(s) a gammafüggvény. A függvényegyenlet, avagy tükrözési képlet:

$\xi (1-s)=\xi (s).$

A nagybetűs Ξ függvényt Landau úgy definiálta, mint:

$\Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)$

és ez a fenti függvényegyenletnek is eleget tesz:

$\Xi (-z)=\Xi (z).$

Landau szerint (loc. cit., p. 894) ez a Riemann által ξ-nek nevezett függvény. Mindkét függvény valós számokhoz valós értékeket rendelnek. A Riemann-sejtés ekvivalens azzal, hogy Ξ minden nullhelye valós. A zavaros jelölés oka Riemann egy nyilvánvaló hibája, aminek azonban nincs semmi következménye a cikken belül.

Értékek

Páros egészekre az általános képlet:

$\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)$

ahol B_n az n-edik Bernoulli-szám. Például:

$\xi (2)={\frac {\zeta (2)}{\pi }}={\frac {\pi }{6}}$

$\xi (4)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta (4)={\frac {\pi ^{2}}{15}}.$

További speciális értékek:

$\xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)={\frac {1}{2}}$

$\xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot {\frac {\Gamma (1/4)}{8\pi ^{\frac {1}{4}}}}=0,4971207781...$ (Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, (A114720 sorozat az OEIS-ben))

$\xi (3)={\frac {3}{2\pi }}\,\zeta (3)$

$\xi (5)={\frac {15}{2\pi ^{2}}}\,\zeta (5).$

Sorfejtés

A $\xi$-függvény sorfejtése

${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},$

ahol

$\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],$

ahol a ρ indexek a zéta-függvény nem triviális nullhelyei, $|\Im (\rho )|$ szerint növekvő sorrendben.

Ennek a sorfejtésnek fontos szerep jut a Li-kritériumban, ami azt állítja, hogy a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy λ_n > 0 minden pozitív n esetén.

Hadamard-szorzat

Egy egyszerű végtelen szorzat alakban adott kifejtés

$\Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!$

ahol ρ a ξ gyökeit futja be.

A konvergencia biztosítása érdekében a nullhelyeket párokba kell állítani, ahol a párok tagjai ρ és 1−ρ.

Kapcsolat a Riemann–Siegel-féle Z-függvénnyel

A Riemann–Siegel-féle Z-függvény kifejezhető a Riemann-féle kszi függvénnyel:

$Z(t)=-{\frac {2\pi ^{1/4}}{(t^{2}+{\frac {1}{4}})\,|\Gamma ({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}it)|}}\ \Xi (t).$

Aszimptotikus viselkedés

Valós s értékekre

$\textstyle \ln \xi (s)=\Theta ({\frac {1}{2}}s\ln s)\qquad (s\in \mathbb {R} ,s\to \infty )$

továbbá

$\xi (s)=\Theta ({\sqrt {s}}^{\,s})$

ahol $\Theta$ a Landau-szimbólum. Ennek megfelelően t valós értékeire

$\textstyle \Xi (t)=\xi ({\frac {1}{2}}+it)=O(t^{1/4}e^{-\pi t/4})\qquad (t\in \mathbb {R} ,t\to \infty )$

Li-együtthatók

A $\xi$ kszi-függvény kapcsolódik a Li-együtthatókhoz:

$\lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],$

mivel teljesülnek a következők:

$\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\ \left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}\ [s^{n-1}\ln \xi (s)]\right|_{s=1}\qquad (n\geqq 1)$

és

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \xi \left({\frac {z}{z-1}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}.$

A Li-kritérium a $\lambda _{n}>0$ tulajdonság minden pozitív $n$ esetén.. Ez ekvivalens a Riemann-sejtéssel.

Források

• Weisstein, Eric W.: Xi-Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• (1992) „Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198), 765–773. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.  
• H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Mineola, NY: Dover Publications. 2001. ISBN 0-486-41740-9  
• J. C. Lagarias (2004). „Li coefficients for automorphic L-functions”. Mathematics.  
• B. Riemann (1859). „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe”. Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.  
• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. (hely nélkül): Oxford University Press. 1986. ISBN 0-19-853369-1  

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemann Xi function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemannsche Xi-Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.