„Határérték” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Tulajdonságok: mértani sorozatok; kritériumok |
→Sorozat határértéke: mértani sor |
||
24. sor:
A konvergens valós szám- és pontsorozatokra teljesül a Cauchy-tulajdonság, ami azt mondja ki, hogy a sorozat távoli elemei is közel vannak egymáshoz. Formálisan, az ''a''<sub>''n''</sub> sorozat konvergens, ha minden ε-hoz van olyan ''n''<sub>0</sub>, hogy minden ''n'',''m'' > ''n''<sub>0</sub>-ra |''a''<sub>''n''</sub>-''a''<sub>''m''</sub>|<ε. Megfordítva, minden valós Cauchy-sorozat konvergens. Más terekben ez nem feltétlenül igaz; ahol viszont igen, azt a teret teljesnek mondjuk.
A mértani sorozatok konvergensek, és határértékük 0, ha hányadosuk abszolútértéke egynél kisebb. Ha a hányados 1, akkor a konvergencia teljesül, de a határérték már mástól függ. Az egynél kisebb hányadosú sorozatokból részösszegekkel képzett sorok is konvergensek; határéréküket sorösszegnek is nevezik. Ez a határérték egyszerűen számítható a
:<math>\lim\sum_{i=0}^n q^i=\frac{1}{1-q}</math>
összefüggés felhasználásával.
A konvergens sorozatok tulajdonságai kritériumokat adnak arra, hogy belássuk, hogy a sorozat nem konvergens. Szintén vannak kritériumok a sorozat konvergens voltára. Nincs mindig szükség a határérték kiszámítására.
| |||