|
*az egész <math>\mathbb{R}</math> vagy <math>\mathbb{C}</math>.
A hatványsort [[formális hatványsor|formálisan]] felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a [[leszámlálás]]okhoz.
==Konvergenciasugár==
Az <math>x_0</math> körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit <math>r</math> -rel jelölve a hatványsor minden <math>x</math>-re konvergens, amire <math>|x-x_0|<r</math>. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergeniasugár végtelen.
:a konvergenciasugár 1, és a sor <math>x=1</math>-ben és <math>x=-1</math>-ben is konvergál
*Hatványsor (saját középpontjához tartozó) [[Taylor-sor]]a előállítja magát a hatványsort
==Formális hatványsorok==
A [[formális hatványsor]]okat is végtelen összegként definiálják, de nem törődnek a konvergenciával, ami amúgy sem biztos, hogy értelmezve van, például [[véges test]]ek fölött.
*A véges testek fölötti egy határozatlanú formális hatványsorok [[gyűrű (matematika)|gyűrű]]t alkotnak, aminek részgyűrűje a polinomgyűrű
*Gyűrű feletti [[polinomgyűrű]], és az ugyanazon gyűrű fölött vett formális hatványsorok gyűrűje egyszerre [[kommutatív]], [[egységelem]]es vagy [[nullosztómentes]], ha az alapgyűrű is az
*Ha '''s''' egy egységelemes gyűrű fölötti hatványsor, és <math>k \in \N _0</math>, akkor <math>(x^k\mathbf s)_i=0</math>, ha ''i'' > k, és <math>(x^k\mathbf s)_i= \mathbf s_{i-k}</math>, ha <math>k \leq i \in \N _0</math>
*Az egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűje egyben [[modulus]] is az alapgyűrű fölött. Ez a modulus pontosan akkor [[unitér modulus|unitér]], ha az alapgyűrű egységelemes. Pontosan akkor [[vektortér]], ha az alapgyűrű ferdetest, és pontosan akkor [[algebra]], ha az alapgyűrű test. Ekkor rangja végtelen. Hasonlóak érvényesek a polinomgyűrűre is
*Hatványsor akkor és csak akkor egység, ha konstans tagja egység az alapgyűrűben. Speciálisan, [[ferdetest]] feletti formális hatványsor pontosan akkor egység, ha konstans tagja nem nulla
*Hatványsor akkor és csak akkor [[felbonthatatlan]], ha konstans tagja az alapgyűrűben felbonthatatlan
*Ha az alapgyűrű [[test]], akkor a formális hatványsorok gyűrűje euklideszi
*Test feletti hatványsorok gyűrűjének elemei <math>x^u \mathbf s</math> alakúak, ahol ''u'' egész. Ez a test az alaptest fölötti [[Laurent-sor]]ok testje
A formális hatványsorok alkalmazásának egy fontos területe a leszámlálások.
==Források==
| 