„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés

A cikket átírtam, és csak azt hagytam meg, ami a Riemann-integrál jellemzője.
(A cikket átírtam, és csak azt hagytam meg, ami a Riemann-integrál jellemzője.)
[[folytonos függvény|Folytonos]] függvények integráljára először [[Cauchy]] adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. [[Riemann]] kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.
 
==Riemann-integrál definíciója==
===Riemann definíciója===
Az integrál jellemzői az integrálandó ''f(x)'' függvény és az ''[a,b]'' intervallum, amin integrálunk. Az ''a''-t az ''integrál alsó határának'', a ''b''-t az ''integrál felső határának'' nevezzük.
 
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
 
===Jellemzés a Darboux-integrálokkal===
===Az alsó és a felső integrálközelítő összeg===
Ha a <math> \sigma_n </math> összegben az <math> f(\xi_i) </math> helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a '' (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez'' jutunk: <math> S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} </math>, ahol <math> M_i </math> a függvény felső határa (supremuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
 
Hasonló a '' (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math> s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, </math> ahol <math> m_i </math> az függvény alsó határa (infimuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
 
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait.
Amennyiben létezik az <math>\int \limits _a^b f</math> integrál, akkor <math>s_n \le \int \limits _a^b f \le S_n</math>. Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”.
Az alsó integrálközelítőösszegek [[szuprémum|szuprémuma]] az alsó Darboux-integrál:
:<math>\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}})</math>,
és a felső integrálközelítőösszegek infimuma az alsó Darboux-integrál:
:<math>\overline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})</math>.
 
Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.
=== A primitív függvény fogalma és a [[Newton–Leibniz-tétel|Newton-Leibniz-formula]]===
Az <math>I</math> (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett ''f'' függvény ''primitív függvényének'' nevezzük az ''F'' függvényt, ha '' F'(x)=f (x) '' teljesül bármely <math>x\in I</math> esetén. (Azaz ha F [[derivált]]ja az eredeti f függvény.)
 
==A Riemann-integrál tulajdonságai==
Ha egy ''F(x)'' függvény primitív függvény, akkor '' F(x)+C '' is az, ahol ''C'' tetszőleges valós szám, hiszen konstans hozzáadása a deriváltat nem változtatja meg. Az is bebizonyítható, hogy ''az összes'' primitív függvény felírható F(x)+C alakban. Összefoglalva tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, de ezeket konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.
===Kapcsolata a folytonossággal===
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.
 
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és
Ez grafikusan is könnyen belátható. A derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelenti, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe függőlegesen eltolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz.
:<math>F(t)=\int_a^t f(x)\,dx</math>,
akkor <math>F</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n.
 
===[[Lineáris leképezés|Linearitás]]===
Az ''f(x)'' legyen a ''sin x'' függvény. Ennek egyik primitív függvénye a ''-cos x'' függvény, hiszen ''(-cos x)' = sin x'', de a ''-cos x +5'' függvény is primitív függvény. Általánosan fogalmazva egy függvény pontosan akkor primitív függvénye a ''sin x'' függvénynek, ha felírható ''-cos x +C'' alakban, ahol ''C'' valós szám.
Ha <math>f, g</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon Riemann-integrálható függvények, <math>c</math> valós konstans, akkor <math>f\pm g</math> és <math>cf</math> is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:
 
:<math>\intint_a^b (f(x) \pm g(x) \,dx = \intint_a^b f(x)\,dx \pm \intint_a^b g(x)\,dx</math>
Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható: <br> Newton–Leibniz-formula: <math> \int \limits _a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b </math>, ahol az ''F'' függvény az ''f'' függvény egyik primitív függvénye, a <math> \Big[ F(x) \Big]_a^b </math> pedig egy új jelölés az '' F(b)-F(a)'' kifejezésre.
 
:<math>\intint_a^b c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \intint_a^b f(x)\,dx</math>
<center><math> \int \limits _{\pi}^{\frac{3\pi}2} \sin x \,\mathrm{d}x = \Big[ -\cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}= -\cos \frac{3\pi}2 - (-\cos \pi ) = 0 - 1 = -1</math></center>
 
===Az integrációs határok felcserélése===
A szinuszfüggvényt felrajzolva, a kapott eredmény előjele nem meglepő, hiszen a kérdéses intervallumon a függvényérték végig negatív.
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> intervallumon, akkor
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math>
===Az integrációs intervallum felbonthatósága===
Legyen <math>a<b<c</math>. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,c]</math> intervallumon, akkor Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> és <math>[b,c]</math> intervallumokon is, valamint:
:<math>\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0</math>
===Háromszög-egyenlőtlenség===
Ha <math>f</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor <math>|f|</math> is az, és teljesül a következő:
:<math>\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\int_a^b\left|f(x)\right|\,dx</math>
 
===[[Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség|Schwarz-egyenlőtlenség]]===
==Határozatlan integrál==
Ha <math>f,g</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:
A primitív függvények halmazát '''határozatlan integrálnak''' vagy '''antideriváltnak''' nevezzük.
:<math>\left|\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right|\leq\sqrt{\int_a^bf^2(x)\,dx}\sqrt{\int_a^bg^2(x)\,dx}</math>
Ezt a halmazt vagy gyakrabban annak egy általános elemét <math>\int f(x)\, \mathrm{d}x </math> vagy röviden <math>\int f</math> jelöli.
 
===Newton-Leibniz formula===
===Nevezetes függvények primitív függvényei===
A határozott integrál és a [[Határozatlan integrál|primitív függvény]] kapcsolatát tárja fel a [[Isaac Barrow]] által felfedezett [[Newton-Leibniz-tétel|Newton-Leibniz formula]]:
 
Ha <math>[a,b]</math>-n <math>F'=f</math>, akkor
<math>\int \sin(x)\, \mathrm{d}x = -\cos x + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám.
:<math>\int_a^b f(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math>
 
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.
<math>\int a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, \mathrm{d}x = \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n-1+1} x^{n+1-1} + ... + \frac{a_2}{3} x^3 + \frac{a_1}{2} x^2 + a_0 x + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám.
 
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math> (azaz <math>F</math> határozatlan intgrálja f-nek), akkor <math>F'(x)=f(x)</math>, az intervallum minden <math>x</math> pontjára.
<math>\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = ln|x| + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám.
 
===Parciális integrálás===
<math>\int e^{x} \, \mathrm{d}x = e^x + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám.
A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:
:<math>\intint_a^b f(x) \cdot g'(x)\,dx = \Big[f(x) \cdot g(x)\Big]_a^b - \intint_a^b f'(x) \cdot g(x) \,dx </math>
 
===Helyettesítéses integrálás===
<math>\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2(x)} = \tan(x) + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám.
Legyen <math>x=\varphi(t)</math>, ahol <math>\varphi</math> folytonosan differenciálható, és <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math> <math>\varphi</math> általi képén. Ekkor
 
:<math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,dx=\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt</math>
<math>\int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \arctan(x) + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám.
 
===Integrálási szabályok ===
Az integrálási szabályok levezethetőek a deriválási szabályokból. Példák (<math>f, g</math> függvények, <math>c</math> valós konstans) :
 
<math>\int (f \pm g) = \int f \pm \int g</math>
 
<math>\int c \cdot f = c \cdot \int f</math>
 
<math>\int f ( ax + b ) = \frac {F ( ax + b ) }{a} + C</math>, ahol <math>a \neq 0</math>, valamint <math>b, C \in \mathbb{R}</math> és <math>F' = f</math>.
 
<math>\int f \cdot g' = f \cdot g - \int f' \cdot g </math>
 
<math>\int (f \circ g) \cdot g' = F \circ g + C</math>, ahol <math>F' = f</math> és <math>C \in \mathbb{R}</math>.
 
<math>\int (f^{\alpha} \cdot f') = \frac{f^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C </math>, ahol <math>\alpha \neq -1</math> és <math>C \in \mathbb{R}</math>.
 
<math>\int \frac {f'}{f} = \ln |f| + C</math>, ahol <math>C \in \mathbb{R}</math>.
 
== A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma ==
329

szerkesztés