Wikipédia

„Topológia” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a →‎Speciális topologikus terek: euklidészi→euklideszi with AWB
Nincs szerkesztési összefoglaló
15. sor:
: 1. '''Halmazelméleti topológia''' a halmazok szerkezetével, az elemek környezetével, a leképezésekkel, a folytonossággal stb. foglalkozik. Szokták '''geometriai''' topológiának, vagy a '''ponthalmazok''' topológiájának is nevezni.
 
:2. '''Algebrai topológia''' algebrai eszközök segítségével építi fel fogalom- és tételrendszerét. Ennek alfejezeteként nevesítik a '''kombinatórikuskombinatorikus''' topológiát.
 
:3. '''Gráfelmélet''' a [[gráf]]oknak nevezett (pontokból és azokat összekötő élekből álló) topologikus alakzatok speciális feladataival foglalkozik.
21. sor:
:Néhány elemző elkülöníti a '''differenciál''' topológiát, míg más osztályozások a '''leíró''' és az '''általános''' topológia terminusokat használják. Ez is mutatja a tudományterület fejlődésének dinamizmusát.
 
'''Fontos alapfogalmai''': a topologikus tér, a nyiltnyílt halmaz, a környezet, a topologikus leképezés (''homeomorfia'') és invariánsai.
 
== Topologikus tér ==
134. sor:
== Folytonosság ==
=== Globális folytonosság. ===
Két topologikus tér közötti leképezéssel adott függvény folytonos, ha '''az értékkészlet minden nyiltnyílt halmazának ősképe nyiltnyílt halmaz'''.
 
=== Lokális folytonosság ===
Két topologikus tér közötti leképezéssel adott függvény folytonos az értelmezési tartomány egy p pontjában,
: ha ''p'' izolált pont,
: vagy ha '' f(p)'' minden környezetének ösképeősképe ''p''-nek egy környezete.
 
A valós-valós függvények esetén (és általában ha mindkét tér természetes topológiával bír) ez a definíció az [[Folytonos függvény|analízisből]] ismert definíciókkal ekvivalens, annak '''általánosítás'''a.
146. sor:
== Leképezések (transzformációk) ==
=== Folytonos leképezés ===
A folytonos függvény által generált leképezést geometriai térben alkalmazva az alakzatok képében a pontok ''szomszédsága'' a vonalak ''folytonossága'', az alakzatok ''összefüggése'', a nyilt-nyílt vagy zárt alakzatok e tulajdonsága változatlan, '''invariáns'''.
 
Ugyancsak változatlan marad a részhalmazok (alakzatok) és pontok viszonya: értintkezésiérintkezési, belső, izolált, torlódási vagy külső pont a képben is ilyen tulajdonságú.
 
=== Homeomorfizmus ===
A [[homeomorfizmus]] a folytonos leképezés speciális esete:
Amennyiben egy ''folytonos'' függvény ''injektív'' és ''szürjektív'', továbbá az ''inverze is folytonos'', akkor a függvényt (a ''leképezést'') '''homeomorfizmus'''-nak (''homeomorfia'') nevezzük.
 
Két alakzatot (teret) '''homeomorf'''-nak, más szóval '''topologikusan ekvivalens'''nek nevezzük, ha egyiket homeomorfizmus képezi le a másikra, azaz egyik a másiknak ''homeomorf képe''. Ilyen párt alkot a fenti idézetben szereplő ''bögre és fánk'' ([[tórusz]]). A síkban ilyen ''a kör és a négyzet'', ''az egyenes és a parabola'' stb. A homeomorfizmus a legáltalánosabb topologikus leképezés.
 
=== Rugalmas alakváltozás ===
 
[[Fájl:F 2-1+2.gif|balra]]A rugalmas alakváltozás, vagy [[homotópia]] szemléletesen egy rugalmas lemezre rajzolt ábra torzulásaival írható le. A térbeli analógia ugyanígy kezelhető. A fizikai kivitelezhetőség feltétele, hogy az alakváltozás az anyag (a hordozó halmaz, a média) ''elszakadása nélkül'' menjen végbe és a transzformáció ''megfordítható'' (az eredeti alakzat rekonstruálható) legyen. Nem minden topologikus leképezés valósítható meg rugalmas torzítással, de igazolható, hogy a homotópia a homeomorfia speciális esete. A homotópisahomotópia kötött egy ''A'' részhalmazra, ha az ''A'' halmaz képe nem mozoghat.
 
A homotópnak lenni ekvivalenciareláció. Egy ''X'' topologikus térben az adott kezdőpontú hurkok homotópiaosztályai csoportot alkotnak az egymás után fűzésre, mint szorzásra. A csoport egységeleme a konstans hurok, és egy hurok inverze a megfordítottja, vagyis a visszafelé bejárt hurok. Ez az adott tér [[fundamentális csoport]]ja. A fundamentális csoportok vizsgálatával az [[algebrai topológia]] foglalkozik.
168. sor:
 
=== Projektív leképezések ===
A rugalmas alakváltozásnál szigorúbb feltétel az egyenes (térben a sík és egyenes) invarianciája. Az ílyenilyen tulajdonságú folytonos leképezés az általános projektív leképezés, a '''kollineáció'''. Az euklideszi térben a kollineációt lineáris (''elsőfokú'') kifejezéssel definiált leképezések valósítják meg.
:A párhuzamosságot is átörökítő speciális kollineáció az '''affinításaffinitás'''.
::A szögtartó és aránytartó speciális affinitás a '''hasonlóság'''.
:::A távolságot is megtartó hasonlósági leképezés az '''egybevágóság'''.
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Topológia”