„Gömbi geometria” változatai közötti eltérés

'''Gömbi szakasz'''oknak nevezzük a gömb <math>\pi</math>-nél nem hosszabb főköríveit.

Ha <math>A</math> és <math>B</math> a gömb két nem átellenes pontja, akkor az <math>AOB</math> sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek az <math>A</math> és <math>B</math> közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha <math>A</math> és <math>B</math> átellenes pontok, akkor végtelen sok <math>\pi</math> hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

Az <math>A</math> és <math>B</math> pontok '''gömbi távolság'''a, melyet <math>d(A,B)</math> -vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

Ha az <math>A, B, C</math> pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az <math>ABC</math> gömbháromszögnek. Az <math>ABC</math> gömbháromszög csúcsai az <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> pontok, oldalszakaszai az <math>A, B, C</math> pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: <math>a = d(B, C)</math>, <math>b = d(A, C)</math> és <math>c = d(A, B)</math>.

Az <math>ABC</math> gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög = <math> \alpha</math> az <math>AB</math> és <math>AC</math> főkörívek <math>A</math>-beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az <math>OA</math> egyenes által határolt, <math>B</math>-t, illetve <math>C</math>-t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög =<math> \beta</math> és BCA szög = <math>\gamma</math> szögeket. Az <math>ABC</math> euklideszi háromszög <math>A</math> csúcsnál lévő szöge általában különbözik az <math>ABC</math> gömbháromszög <math>\alpha</math> szögétől.

Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a [[szinusztétel|szinusz]]-, [[koszinusztétel|koszinusz-tétel]], illetve a [[PithagoraszPitagorasz-tétel]].

Legyen az <math>A</math> pont merőleges vetülete az <math>OBC</math> síkra <math>D</math>, és legyen <math>D</math> vetülete az <math>OB</math>, illetve <math>OC</math> egyenesekre <math>E</math> és <math>F</math>. Ekkor nyilván <math>AE \perp OB</math>-re és <math>AF \perp OC</math>-re. Viszont <math>AED</math> szög = <math>\beta</math> és <math>AFD</math> szög = <math>\gamma</math> , tehát <math>\sin\ \beta</math> = <math>\frac{AD}{AE}</math> és <math>\sin\ \gamma</math> = <math>\frac{AD}{AF}</math>, ezért <math>\sin\ \beta\ :\ \sin\ \gamma</math> = <math> AF\ :\ AE</math>. Azonban <math>AOB</math> szög = <math>c</math>, így <math>AE = \sin\ c</math>. Hasonlóan <math>AF = \sin\ b</math>, tehát <math>\sin\ \beta\ :\ \sin\ \gamma = \sin\ c\ :\ \sin\ b</math>.

== Gömbi PithagoraszPitagorasz-tétel ==