„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
 
[[Kép:riemann1.png|bélyegkép|jobbra|Integrálható (azon belül folytonos) függvény.]]
Osszuk fel az intervallumot ''n'' részre valamilyen <math> F_n = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \} </math> halmazzal, ahol <math>a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b</math>. Ezt az ''F''<sub>''n''</sub> halmazt az ''[a,b]'' intervallum egy ''felosztásának'' nevezzük. A felosztás ''finomságának'' nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: <math>d(F_n)</math>
 
[[Kép:riemann2.png|bélyegkép|jobbra|Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása]]
Ezt a <math>\Delta x_i=(x_i-x_{i-1})</math> jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:
 
:<math>\sigma(F_n) =\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n </math>
 
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: <math>\{F_n\} = F_1, F_2, F_3, F_4, \ldots </math>. Ezeket nevezzük ''felosztássorozatoknak''. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a <math> \{d(F_n)\} = d(F_1), d(F_2), \ldots </math> sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot ''normális felosztássorozatnak'' vagy ''minden határon túl finomodó felosztássorozatnak'' nevezzük.
 
[[Kép:riemann.gif|bélyegkép|jobbra|Normális felosztássorozat első tagjai]]
 
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ''Riemann-integrálható'' az [''a'',''b''] intervallumon, és a határértékét a függvény ''Riemann-integrál''jának nevezzük. Jele: <math>\int \limits _a^b f(x) \, dx</math> vagy röviden: <math> \int \limits _a^b f</math>.
 
:<math>d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int \limits _a^b f</math>
:: <math>x_{i-1} \le \xi_i \le x_i </math>
 
:: <math>\lim_{n\to \infty} \max \left\{ x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le n \right\}=0 </math>
 
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
 
===Jellemzés a Darboux-integrálokkal===
Ha a <math> \sigma_n </math> összegben az <math> f(\xi_i) </math> helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a '' (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez'' jutunk: <math> S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} </math>, ahol <math> M_i </math> a függvény felső határa (supremuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
 
Hasonló a ''(Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math> s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, </math>, ahol <math> m_i </math> az függvény alsó határa (infimuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
 
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait.
Az alsó integrálközelítőösszegekintegrálközelítő összegek [[szuprémum]]a az alsó Darboux-integrál:
:<math>\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}})</math>,
és a felső integrálközelítőösszegekintegrálközelítő összegek [[infimum]]a a felső Darboux-integrál:
:<math>\overline{\int_a^b}=\inf\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})</math>.
 
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.
 
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és
:<math>F(t)=\int_a^t f(x)\,dx</math>,
akkor <math>F</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n.
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math>
===Az integrációs intervallum felbonthatósága===
Legyen <math>a<b<c</math>. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,c]</math> intervallumon, akkor Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> és <math>[b,c]</math> intervallumokon is, valamint:
:<math>\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0</math>
===Háromszög-egyenlőtlenség===
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.
 
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math> (azaz <math>F</math> határozatlan intgráljaintegrálja f-nek), akkor <math>F'(x)=f(x)</math>, az intervallum minden <math>x</math> pontjára.
 
===Parciális integrálás===
* [[Burkill-integrál]]
* [[Daniell-integrál]]
* [[Darboux-integrál]], a Riemann-integrál egy variációja
* [[Denjoy-integrál]], a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
* [[Dirichlet-integrál]]
== Források ==
 
* Durszt E. ([[1995]]): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
* Imreh Cs. ([[1997]]): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
* [[Leindler László|Leindler L.]] ([[1995]]): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
* Medvegyev P. ([[2004]]): SzochasztikusSztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
* Mikolás M. ([[1978]]): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.