„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
11. sor:
[[Kép:riemann1.png|bélyegkép|jobbra|Integrálható (azon belül folytonos) függvény.]]
Osszuk fel az intervallumot ''n'' részre valamilyen <math>
[[Kép:riemann2.png|bélyegkép|jobbra|Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása]]
23. sor:
Ezt a <math>\Delta x_i=(x_i-x_{i-1})</math> jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:
:<math>\sigma(F_n) =\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: <math>\{F_n\} = F_1,
[[Kép:riemann.gif|bélyegkép|jobbra|Normális felosztássorozat első tagjai]]
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ''Riemann-integrálható'' az
:<math>d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int \limits _a^b f</math>
42. sor:
:: <math>x_{i-1} \le \xi_i \le x_i </math>
:: <math>\lim_{n\to \infty} \max \left\{ x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
===Jellemzés a Darboux-integrálokkal===
Ha a
Hasonló a ''(Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math>
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait.
Az alsó
:<math>\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}})</math>,
és a felső
:<math>\overline{\int_a^b}=\inf\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})</math>.
63. sor:
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és
:<math>F(t)=\int_a^t f(x)\,dx</math>,
akkor <math>F</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n.
78. sor:
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math>
===Az integrációs intervallum felbonthatósága===
Legyen <math>a<b<c</math>. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,c]</math> intervallumon, akkor Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> és <math>[b,c]</math> intervallumokon is, valamint:
:<math>\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0</math>
===Háromszög-egyenlőtlenség===
96. sor:
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math> (azaz <math>F</math> határozatlan
===Parciális integrálás===
116. sor:
* [[Burkill-integrál]]
* [[Daniell-integrál]]
* [[Darboux-integrál]], a
* [[Denjoy-integrál]], a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
* [[Dirichlet-integrál]]
142. sor:
== Források ==
* Durszt E. ([[1995]]): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
* Imreh Cs. ([[1997]]): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
* [[Leindler László|Leindler L.]] ([[1995]]): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
* Medvegyev P. ([[2004]]):
* Mikolás M. ([[1978]]): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
|