„Stirling-formula” változatai közötti eltérés

A ''' Stirling-formula''' a [[faktoriális]] függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

<center><math>\frac{{\left( {2^{1 - 2k} - 1} \right)B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^{2k - 1} }},</math></center>

A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy <math>\Re(z)>0</math>)

:<math> = \lim_{n\to\infty} \left( {\int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} - e^{ - nt} }}{t}dt - \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\int_0^\infty {e^{ - \left( {z + r} \right)t} dt} } } } \right)</math>

:<math> = \lim_{n\to\infty} \left( {\int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} - e^{ - nt} }}{t}dt - \int_0^\infty {\frac{{1 - e^{ - nt} }}{{1 - e^{ - t} }}e^{ - zt} dt} } } \right)</math>

:<math> = \lim_{n\to\infty} \left( {\int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} }}{t} - \frac{{e^{ - zt} }}{{1 - e^{ - t} }}dt - \int_0^\infty {\left( {\frac{1}{t} - \frac{{e^{ - zt} }}{{1 - e^{ - t} }}} \right)e^{ - nt} dt} } } \right)</math>

:<math> = \int_0^\infty {\left( {\frac{{e^{ - t} }}{t} - \frac{{e^{ - zt} }}{{1 - e^{ - t} }}} \right)dt} = \int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} - e^{ - zt} }}{t}dt} + \int_0^\infty {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }}} \right)e^{ - zt} dt} </math>

:<math> = \log z + \int_0^\infty {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }}} \right)e^{ - zt} dt} .</math>

<center><math>\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }} = - \frac{1}{2} - \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{B_{2k} }}{{\left( {2k} \right)!}}t^{2k - 1} },</math></center>

<center><math>\psi \left( z \right) \sim \log z - \frac{1}{{2z}} - \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{B_{2k} }}{{ {2k}}}} \frac{1}{{z^{2k} }},\;\left| z \right| \to \infty ,\;\left| {\arg z} \right| < \frac{\pi }{2}.</math></center>

<center><math>\log \Gamma \left( z \right) \sim \left( {z - \frac{1}{2}} \right)\log z - z + C + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)z^{2k - 1} }}}</math></center>

<center><math>\log \Gamma \left( z \right) + \log \Gamma \left( {z + \frac{1}{2}} \right) + \left( {2z - 1} \right)\log 2 = \log \Gamma \left( {2z} \right) + \frac{1}{2}\log \pi.</math></center>

Határértéket véve <math>C = \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right)</math>-t fogunk kapni. A formulát itt csak <math>\left| {\arg z} \right| < \frac{\pi }{2}</math> esetén bizonyítottuk, megjegyzendő azonban, hogy fennáll akkor is, ha <math>\left| {\arg z} \right| < \pi</math>.

Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott erdményteredményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük <math>\log \Gamma \left( {z + \frac{1}{2}} \right)</math>-t meghagyva, majd arra rendezve, <math>z=n+\frac{1}{2}</math>-et helyettesítve, végül felhasználva, hogy <math>\log \Gamma \left( {n + 1} \right) = \log n!</math>, éppen Stirling eredeti sorát kapjuk.

<center><math>\Gamma \left( z \right) \sim \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {\frac{{2\pi }}{z}} \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( {2k + 1} \right)!!a_{2k + 1} }}{{z^k }}}

<center><math>a_k = \frac{{a_{k - 1} }}{{k + 1}} - \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {a_i a_{k + 1 - i} } ,\;a_1 = 1,\;a_2 = \frac{1}{3}</math></center>

<center><math>\Gamma \left( {z + \frac{1}{2}} \right) \sim \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {2\pi } \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{b_k }}{{z^k }}} = \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {2\pi } \left( {1 - \frac{1}{{24z}} + \frac{1}{{1152z^2 }} + \cdots} \right)</math></center>

<center><math>b_k = \frac{1}{{2^k }}\sum\limits_{i = 0}^k {\left( { - 1} \right)^i 2^i c_{k - i} c_i }.</math></center>

<math>n! \sim \left( {\frac{n}{e}} \right)^n \sqrt {2\pi \left( {n + \frac{1}{6}} \right)}</math>

Robert H. Windschitl [http://www.rskey.org/gamma.htm]:

<math>n! \sim \left( {\frac{n}{e}\sqrt {n\sinh \frac{1}{n}} } \right)^n \sqrt {2\pi n}</math>

<math>n! \sim \left( {\frac{n}{e}\left( {1 + \frac{1}{{15n^2 }}} \right)^{5/4} } \right)^n \sqrt {2\pi n}</math>