„Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a hiv. korr, + egyéb apróság AWB |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
5. sor:
== Az elmélet kifejtése ==
Az elmélet nyelvében két logikai relációjel szerepel, az egyenlőség szimbóluma ( = ) és az eleme
:''Most egy olyan axiómarendszert mutatunk be, mely szellemében a legközelebb áll a '''ZFC''' rendszerhez.
13. sor:
Tehát ha van legalább egy olyan ''y'' osztály, melynek ''x'' eleme. Ellenkező esetben (tehát ha a ¬(∃y)(x ∈ y) formula tétel) az x osztály ''valódi osztály''.
:'''A<small>Z [[Extenzionalitási axióma|EXTENZIONALITÁS AXIÓMÁJA]]</small>''' – Ha két osztálynak azonosak az elemei, akkor a két osztály egyenlő, azaz ha ''x'' és ''y'' osztály, akkor
: (∀z)(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ (x = y)
(Az "extenzionalitás" kifejezés arra utal, hogy minden osztályra úgy gondolunk, ahogy a logikában a predikátumok extenziójára, igazságtartományára. Két osztály így tehát akkor egyenlő, ha ekvivalens predikátumok igazságtartományaiként fogható fel. Az axiómát gyakran még meghatározottsági axiómának is hívják, mert eszerint az osztályokat semmi más, csak elemei határozzák meg.)
:'''A<small> KORLÁTOZOTT KOMPREHENZIVITÁS AXIÓMÁJA</small>''' – Ha P(x) az elmélet olyan formulája, mely szabadon tartalmazza x-et és a benne szereplő kvantorok csak halmazokra korlátozódnak, akkor létezik olyan osztály, mely pontosan azokat a ''halmaz''okat tartalmazza, melyekre P(x) igaz, azaz
: (∃y)(∀x)( x ∈ y ⇔ (Set(x) ∧ P(x)) )
46. sor:
:'''V<small>ÉGTELENSÉGI AXIÓMA</small>''' – Az összes <nowiki>Ø , {Ø} , {Ø,{Ø}}, {Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}, … H ∪ {H}, …</nowiki> alakú "természetes szám" halmazok osztálya halmazt alkot.
:[[Kiválasztási axióma|'''K<small>IVÁLASZTÁSI AXIÓMA</small>''']] – Nemüres halmazok nemüres halmazrendszerének Descartes-szorzata nem üres.
:'''A<small> PÓTLÁS AXIÓMÁJA</small>''' – Ha F: A <math>\rightarrow</math> B funktor és A halmaz, akkor F(A) is halmaz.
:[[A regularitás axiómája|'''A<small> JÓLFUNDÁLTSÁG AXIÓMÁJA</small>''']] – Egy nemüres halmaznak mindig van olyan eleme, mellyel már nincs közös része.
53. sor:
== A Neumann-féle méretkorlátozási axióma ==
Neumann alkotta meg az osztályokkal megfogalmazott halmazelmélet egy tömörebb változatát oly módon, hogy feltette, minden valódi osztály kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltetésbe hozható az összes halmazok osztályával '''V''' := { x | x=x } = { x | Set(x) } -vel (a Neumann-féle univerzummal), azaz lényegében csak egyféle méretű valódi osztályok vannak. ({{forráskérő|szöveg=Ez a megállapítás '''ZFC'''-s pszeudo-osztályelméletet
:'''A<small> MÉRETKORLÁTOZÁS AXIÓMÁJA</small>''' – Ha '''C''' valódi osztály, akkor létezik '''C''' <math>\rightarrow</math> '''V''' kölcsönösen egyértelmű, '''V''' minden elemét felvevő (tehát bijektív) funktor.
(Emellett törölve A<small>Z EXTENZIONALITÁS AXIÓMÁJA</small>, R<small>ÉSZHALMAZ AXIÓMA</small>, A<small> PÓTLÁS AXIÓMÁJA</small>, K<small>IVÁLASZTÁSI AXIÓMA</small>)
:'''A<small> KORLÁTOZOTT KOMPREHENZIVITÁS AXIÓMÁJA</small>'''
:'''P<small>ÁRAXIÓMA</small>'''
:'''H<small>ATVÁNYHALMAZ AXIÓMA</small>'''
:'''E<small>GYESÍTÉSI AXIÓMA</small>'''
:'''A<small> JÓLFUNDÁLTSÁG AXIÓMÁJA</small>'''
| |||