„Háló (matematika)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
1. sor:
[[Fájl:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|bélyegkép|300px|4 elemű halmaz osztályozásaiból képezett háló [[Hasse diagram]]ja.]]
A [[matematika|matematikában]] a '''hálónak''' két egymással ekvivalens definíciója létezik, az egyik rendezési relációkkal (ld. [[részbenrendezett halmaz]]ok) definiálja a háló fogalmát, a másik pedig (amely [[Richard Dedekind|R. Dedekindtől]] ered, aki a német ''Dualgrouppe'' (duálcsoport, kettőscsoport) elnevezést találta rá ki
== Definíció ==
31. sor:
: <math>a \cap a=a</math>.
* az idempotencia következményeként a háló [[részbenrendezés|részben rendezhető]], ahol <math>a<=b</math> ekvivalens <math>a \cup b = b</math>. Erre a rendezésre minden kételemű halmaznak van legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.
* A [[dualitás|duális]] háló rendezése a háló [[Rendezett halmaz|rendezésének]] megfordítása.
40 ⟶ 39 sor:
== Hasse-diagramok ==
A [[véges]] rendezett halmazok irányított [[gráf]]okkal ábrázolhatók, amiben az elemek a pontok, és egy a-b él akkor létezik, ha b fedi a-t. Ezeket a gráfokat Hasse-diagramoknak nevezzük. Az ilyen gráfok úgy is ábrázolhatók, hogy az összes él felfelé mutasson. Így is szokás ábrázolni őket, de irányítás nélkül.
== Speciális hálók ==
Az L háló disztributív, ha mindkét művelet disztributív a másikra:
:<math>a\cup(b\cap c) = (a\cup b)\cap(a\cup c)</math> minden <math>a,b,c\in L</math> és
:<math>a\cap(b\cup c) = (a\cap b)\cup(a\cap c)</math> minden <math>a,b,c\in L</math> -re.
66 ⟶ 61 sor:
Ha az egyesítésnek van [[neutrális elem]]e, akkor ezt a háló nullelemének (''0'') nevezzük. Ha létezik, akkor egyértelmű, és a háló legkisebb eleme. Duálisan, ha a metszetnek van neutrális eleme, akkor az a háló egységeleme (''1''). Ez szintén egyértelmű, ha létezik, és a háló legnagyobb eleme.
Ha az L hálóban van ''0'' és ''1'', és valamely ''a'' elemhez van ''b'' elem, hogy
:<math>a \cap b = 0</math> és <math>a \cup b = 1</math> ,
akkor ''b''-t ''a'' komplementerének hívjuk. Ha L minden elemének van komplementere, és az egyértelmű, akkor az L háló komplementumos.
73 ⟶ 68 sor:
== Homomorfizmusok és részhálók ==
Legyen <math>(L,\sqcup,\sqcap)</math> és <math>(M,\cup,\cap)</math> két háló. Ha az <math>f:L\to M</math> függvényre teljesül, hogy
:<math>f(a\sqcup b)=f(a)\cup f(b)</math>
:<math>f(a\sqcap b)=f(a)\cap f(b)</math>,
akkor ''f'' hálóhomomorfizmus. Ha ''f'' bijektív, akkor [[izomorfizmus]].
A háló[[homomorfizmus]]ok rendezéstartók, azaz monoton függvények: ha
:''a'' ≤ ''b'', akkor ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'').
Ez az állítás nem fordítható meg, azaz nem minden [[monotonitás|monoton]] hálófüggvény homomorfizmus.
''M'' részhálója ''L''-nek, ha zárt az ''L''-beli műveletekre nézve, azaz minden ''a'' és ''b'' elemére
:''a'' <math>\cup</math> ''b'' és ''a'' <math>\cap</math> ''b'' eleme ''M''-nek.
| |||