„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Robot: Automatikus szövegcsere (-<sub>2<sub> +<sub>2</sub>) |
|||
23. sor:
Ha az ''f'' : ''U'' <math>\rightarrow</math>'''R'''<sup>n<sup> függvény az ''U'' nyílt halmaz minden pontjában totálisan differenciáható, akkor mindenhol a parciális deriváltjai is léteznek és a differenciál kifejezhető velük. Azt a függvényt, mely ''U'' minden ''x'' eleméhez a ''df(x)'' leképezést rendeli '''differenciál leképezés'''nek nevezzük. Rögzített ''x''-re a ''df(x)'' lineáris leképezésnek felírható a koordinátamátrixa (a sztenderd bázispárban, vagyis, ha a (1,0,0,...,0), (0,1,0, ..., 0), ..., (0,0,0, ..., 0, 1) bázisvektorokat tekintjük mindkét vektortérben). Belátható, hogy az így keletkező
:<math>[df(x)]\;</math>
''n'' <math>\times</math> ''m''-es mátrix a '''Jacobi-mátrix''', melynek elemeit az ''f'' komponensfüggvényeinek parciális deriváltjai adják a következőképpen. Ha ''f''-et úgy tekintjük, mint az (f<sub>1<sub>, f<sub>1<sub>, f<sub>2</sub>, ... ,f<sub>n<sub>) ''m'' változós, de valós értékű függvényekből álló függvényrendszer, akkor a [df(x)] mátrix (i,j)-edik eleme:
:<math>\left(\mathbf{J}_x^f\right)_{ij}:=\left.\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\right|_{x}=[df(x)]_{ij}</math>
'''J'''<sub>x<sub><sup>f<sup> az ''f'' függvény ''x'' ponthoz tartozó Jacobi-mátrixát jelölő szimbólum.
92. sor:
== Lábjegyzet ==
# {{jegy|érttart}} Az ''f : H'' <math>\mapsto</math> ''K'' jelölésen azt kell érteni, hogy a ''f'' a ''H'' halmaz egy részhalmazán van értelmezve és ''K''-ba képez
# {{jegy|||_2}} Ha ''a'' ∈ '''R'''<sup>m<sup> vektor, akkor || ''a'' ||<sub>2</sub> az ''a'' euklideszi [[norma (matematika)|normáját]] jelöli, azaz a koordinátái négyzetösszegéből vont négyzetgyököt.
# {{jegy|tenzor}} A tenzorok eredetileg a fizikában használt mennyiségek voltak, de mára a lineáris algebrának és a differenciálgeometriának is fontos fogalmaivá váltak. Lényegében "mátrixfüggvények", melyek definíciója ugyan függ a koordinátarendszertől, de attól függetlenül létező fizikai mennyiség leírására szolgálnak. Például az erő amivel egy könyvet tolunk az asztalon valamely koordinátarendszerben komponenseivel megadható, a koordinátarendszer megváltozatatásával ezek a komponensek változhatnak, de az erő, mely a könyvet nyomja ettől még ugyanaz marad.
| |||