„Nemeuklideszi geometria” változatai közötti eltérés

[[Bolyai János|Bolyai]] és [[Lobacsevszkij]] a párhuzamost egy külső pont körül forgatott szelők határhelyzeteként definiálják. Az <math>AM</math> egyenesen kívül fekvő <math>B</math> pont körül forgatott egyenesek közül az a <math>BC</math> párhuzamos az <math>AM</math>-mel, amelyik '''elpattan tőle'''. Más fogalmazásban a forgatott egyenesek közül a párhuzamos az '''első nem metsző'''. [[Bolyai János|Bolyai]] ezt a párhuzamost ''aszimptotikus párhuzamosnak'', vagy egyszerűbben ''aszimptotának'' nevezte.<ref><A történeti hűséghez tartozik, hogy Lobacsevszkij és Bolyai szemlélete között a lényeget nem érintő eltérés van: Lobacsevszkij a külső ponton átmenő egyenesek két osztályát – a metszőkét és a nem-metszőkét – elválasztó két egyenest nevezi párhuzamosnak, míg Bolyai a külső pontból induló félegyenesekről és ezek forgatásáról beszél.></ref>

Mivel a forgatott egyenes egyre távolabb metszi az <math>AM</math> egyenest, kísérlettel nem lehet eldönteni, hogy mikor, az <math>\alpha</math> szög milyen értékénél következik be ez az elpattanás. A két kutató ezt a szöget a '''párhuzamosság szögének''' nevezte. Mindketten eljutottak annak felismeréséig, hogy a párhuzamossági szög a <math>B</math> pont és az <math>AM</math> egyenes közötti távolsággal összefüggésben van: <math>\Pi (a)</math>. Kettejük munkája között csupán annyi a lényeges különbség, hogy [[Lobacsevszkij]] a definíciót követően szétválasztja a két lehetséges esetet és az euklideszitől eltérő '''hiperbolikus geometria''' tételeit, míg [[Bolyai János|Bolyai]] a két esetet együtt kezelve a kétféle geometria közös részét, az '''abszolút geometria''' tételeit dolgozta ki. Az az eredmény is közismert, hogy a háromszögek szögeinek összege is aszerint egyenlő vagy kisebb két derékszögnél, hogy a síkja euklideszi vagy hiperbolikus.

: 1.c. Elliptikus: <math>\frac{\sin\alpha}{\sin a} = \frac{\sin\beta}{\sin b} = \frac{\sin\gamma}{\sin c}</math>.

: 2.a. Euklideszi: <math>a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma=c^2</math>.

: 2.b. Hiperbolikus: <math>\mathrm{ch} a \cdot \mathrm{ch} b + \mathrm{sh} a \cdot \mathrm{sh} b \cdot \cos \gamma=\mathrm{ch} c</math>.

: 2.c. Elliptikus: <math>\cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma=\cos c</math>.

* A hiperbolikus metrika az <math>X</math> és <math>Y</math> alappontokkal alkotott [[kettősviszony]]t használja: <math>d_h(AB) = k\cdot\ln (ABXY)</math>.

* Elliptikus metrika: <math>\delta_e(ab) = ab\angle</math>. (A "közönséges" szögmérték)

* Hiperbolikus metrika: <math>\delta_h(ab) = k\cdot\ln (abxy)</math>.

A síkban a lehetséges geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakasz–metrikát és egy szög–metrikát, tehát 3´3 = 9 síkbeli geometriai rendszert konstruálhatunk. (A térben ezekhez még a lapszögek metrikáját kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27 -féle geometriai rendszert választhatunk.) A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat:

*Ribnyikov, K.A. A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)