„Szignumfüggvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
FoBe (vitalap | szerkesztései) a MathWorld sablonnal |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
[[Fájl:Signum.png|A szignumfüggvény [[grafikon]]ja|bélyegkép|260px|jobbra]]
A '''szignumfüggvény''' vagy '''előjelfüggvény''' egy elemi egyváltozós [[valós függvény|valós]] [[függvény (matematika)|függvény]], értéke a független változó negatív értékei esetén -1, pozitív értékei esetén +1, nullában pedig nulla.
== Lehetséges definíciói ==
15. sor:
illetve az [[Egészrész#Alsó egészrész|alsó egészrész]] és az [[Abszolútérték-függvény|abszulútérték]] függvények használatával:
<center><math> \sgn x = \Bigg\lfloor \frac{x}{|x|+1} \Bigg\rfloor -
\Bigg\lfloor \frac{-x}{|-x|+1} \Bigg\rfloor </math> .</center>
28. sor:
tehát a szignumfüggvény deriváltja a konstans 0 függvénynek az ℝ\{0} halmazra való [[leszűkítés]]e.
Azonban ha úgy tekintjük, hogy a deriváltfüggvény értékei a [[kibővített valós számok]] halmazából (<code>ℝ∪{±∞}</code>) is vehetnek fel értéket, akkor a 0 helyen is létezik a derivált éspedig értéke +∞ (mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞). Ezen kívül a differenciálhatóság hagyományos fogalmától eltérő értelemben szintén létezik a deriváltja. A derivált az úgy nevezett
=== Integrál ===
[[Integrál]]ja az [[abszolútérték-függvény]]: <br>
<center> <math> \int_{0}^{x} \sgn (x)dx = |x| </math>
== Algebrai tulajdonságok ==
Alapvető tulajdonság, hogy bármely valós szám a szám [[abszolút érték]]ének és szignumának a szorzata:
45. sor:
<center> <math> \sgn (x) = \frac{x}{|x|} </math>, ha x ≠ 0. </center>
Ezt az [[egyenlőség (matematika)|egyenlőséget]] mint [[definíció]]t elfogadva, lehetőség van a függvény nem nulla [[komplex számok]]ra való értelmezésének.
=== Multiplikativitás ===
59. sor:
<center><big><code> sgn(x)<sup><n></sup> = sgn(x) </code></big> ha <code>n>0</code> .</center>
Teljes indukcióval látható ez be: n=1-re az elsőrendű iteráció definíciója szerint sgn<sup><1></sup>(x) = sgn(x); n=2-re pedig
</code></big></center>
teljesül, mert az x>0 esetben sgn(x)=1 és ekkor sgn(sgn(x))=sgn(1)=1=sgn(x); az x=0 esetben sgn(sgn(0))=sgn(0)=0=sgn(0), tehát most is sgn(sgn(x))=sgn(x); végül az x<0 esetben sgn(x)=-1 és ekkor sgn(sgn(x))=sgn(-1)=-1=sgn(x). Valamely n>1-re pedig ha igaz, hogy sgn<sup><n></sup>(x) = sgn(x), akkor
sgn<sup><n+1></sup>(x) := sgn(sgn<sup><n></sup>(x)) = sgn(sgn(x)=sgn(x), [[Quod erat demonstrandum|QED]].
== Hivatkozások ==
== Lásd még ==
* [[Heaviside-függvény]]
| |||