„Liouville-tétel (komplex analízis)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Syp (vitalap | szerkesztései) a Syp átnevezte a(z) Liouville tétele lapot a következő névre: Liouville-tétel (komplex analízis) |
Következményei |
||
1. sor:
A [[komplex függvénytan]]ban '''Liouville tétele''' azt állítja, hogy ha egy egészfüggvény korlátos, akkor konstans. A tételt [[Joseph Liouville]] után nevezték el. Ez azt jelenti, hogy ha ''f'' az egész síkon holomorf, és van hozzá pozitív ''M'', hogy akkor <math>|f(z)| \leq M</math> minden <math>z</math> számra <math>\mathbb{C}</math>-ben. Ekvivalensen, a teljes <math>z</math> in <math>\mathbb{C}</math>-n nem konstans [[holomorf függvények]] képe sűrű.
A tétel erősítése a [[Picard-tétel]], ami szerint egy egészfüggvény legfeljebb
==Következményei==
===Az algebra alaptétele===
Liouville tételével [[az algebra alaptétele]] röviden belátható.
===Egészfüggvény nem dominál egészfüggvényt===
Liouville tételének egyik következménye, hogy lényegében különböző egészfüggvények nem dominálják egymást. Azaz, ha ''f'' és ''g'' egészfüggvények, és |''f''| ≤ |''g''| mindenütt, akkor ''f'' = α·''g'' valamely α komplex számra.
Abban az esetben, ha g=0, akkor a tétel triviális, tehát feltehető, hogy g<math>\neq</math>0. Legyen most ''h'' = ''f''/''g'', ekkor elég belátni, hogy ''h'' kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amiből az eredmény Liouville tételével következik. A ''h'' függvény nyilván holomorf, kivéve a ''g''<sup>−1</sup>(0) helyeken. De mivel ''h'' korlátos és ''g'' szingularitásai izoláltak, azért a szingularitások eltávolíthatók. Ezért ''h'' kiterjeszthető korlátos egészfüggvénnyé, ami Liouville tétele szerint konstans.
==Bizonyítás==
| |||