„Liouville-tétel (komplex analízis)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Elliptikus függvények: történet |
→Elliptikus függvények: Nem konstans egészfüggvények képe sűrű |
||
18. sor:
Az elliptikus függvényekre vonatkozó állítást Liouville bizonyította 1847-ben.<ref>{{Citation|last = Liouville|first = Joseph|author-link = Joseph Liouville|publication-date = 1879|year = 1847|title = Leçons sur les fonctions doublement périodiques|periodical = [[Crelle's journal|Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]|volume = 88|pages = 277–310|issn = 0075-4102|url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=266004}}</ref> Valójában [[Augustin Louis Cauchy|Cauchytól]] származik egy korábbi bizonyítás 1844-ből.<ref>{{Citation|last = Cauchy|first = Augustin-Louis|authorlink = Augustin Louis Cauchy|year = 1844|publication-date = 1882|contribution = Mémoires sur les fonctions complémentaires|contribution-url = http://visualiseur.bnf.fr/StatutConsulter?N=VERESS5-1212867208163&B=1&E=PDF&O=NUMM-90188|title = Œuvres complètes d'Augustin Cauchy|series = 1|volume = 8|place = Paris|publisher = Gauthiers-Villars}}</ref><ref>{{Citation|last = Lützen|first = Jesper|year = 1990|title = Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics|series = Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|volume = 15|publisher = Springer-Verlag|isbn = 3-540-97180-7}}</ref>
===Nem konstans egészfüggvények képe sűrű===
Ha ''f'' nem konstans egészfüggvény, akkor képe sűrű '''C'''-ben. Ez Liouville tételének egy egyszerűen megkapható erősítése.
Ha ''f'' képe nem sűrű, akkor van egy ''w'' komplex szám, és egy ''r'' pozitív valós szám, hogy a ''w'' közepű, ''r'' sugarú körben nincs értéke ''f''-nek. LÉegyen a ''g'' függvény olyan, hogy
:''g''(''z'') = 1/(''f''(''z'') − ''w'').
Ekkor ''g'' korlátos, mivel
:<math>(\forall z\in\mathbb{C}):|g(z)|=\frac1{|f(z)-w|}<\frac1r\cdot</math>
Ezért ''g'' konstans, tehát ''f'' is konstans.
==Bizonyítás==
| |||