„Cauchy-integrálképlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
kategória |
→Körlapra: Bizonyítás elkezdése |
||
1. sor:
A '''Chauchy-integrálképlet''' a [[komplex analízis]] egyik alapvető kijelentése. Leggyengébb alakjában azt mondja ki, hogy egy [[holomorf függvény]] értékeit egy körlapon meghatározzák a kör kerületén felvett értékei. Egyik erős általánosítása a [[reziduumtétel]]. A tételnek több változata van.
==Körlapra==
===Állítás===
Ha <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> [[nyílt halmaz|nyílt]], <math>f\colon D\to\mathbb{C}</math> holomorf, <math>a\in D</math> komplex szám, továbbá <math>U:=U_r(a)\subset D</math> [[relatív kompakt]] körlap <math>D</math>-ben, akkor minden <math>z\in U_r(a)</math> esetén, vagyis ha <math>z</math>-re teljesül, hogy <math>|z-a|<r</math>:
:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math>
ahol <math>\partial U</math> pozitív irányítású görbe, és <math>t\mapsto a+re^{\mathrm{i}t}</math> ahol <math>t\in[0,2\pi]</math> <math>U</math> kerülete.
===Bizonyítás===
Rögzített <math>z\in U</math> esetén definiáljuk a <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> függvényt mint <math>w\mapsto\tfrac{f(w)-f(z)}{w-z}</math>, ahol <math>w\neq z</math> és <math>w\mapsto f'(z)</math> ha <math>w=z</math>. Ekkor <math>g</math> folytonos <math>U</math>-ban és holomorf <math>U\setminus\{z\}</math>-ben. A [[Chauchy-integráltétel]]lel
:<math>0 = \oint_{\partial U} g = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}</math>.
[[Kategória: Komplex függvénytan]]
| |||