„Kovariancia” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a →Linearitás, szimmetria és definitség: képlet |
|||
58. sor:
==Linearitás, szimmetria és definitség==
'''Tétel:''' A kovariancia szimmetrikus [[definitség|pozitív szemidefinit]] [[bilineáris forma]] a négyzetesen integrálható valószínűségi változók terében.
'''Tétel:''' Bilineárisság: Az <math>a,b,c,d,e,f,g,h \in \mathbb{R}</math> valós számokra:
:<math>\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d) = ac\operatorname{Cov}(X,Y) \qquad
:<math>\operatorname{Cov}[X,(eY+f)+(gZ+h)] = e\operatorname{Cov}(X,Y) + g\operatorname{Cov}(X,Z).</math>
''Bizonyítás:''
:<math>\begin{align}
\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d) &= \operatorname E\bigl[(aX+b - \operatorname E(aX+b)) \cdot (cY+d - \operatorname E(cY+d))\bigr]\\
&= \operatorname E\bigl[(aX - a\operatorname E(X)) \cdot (cY - c\operatorname E(Y))\bigr]\\
&= ac\operatorname E\bigl[(X - \operatorname E(X)) \cdot (Y - \operatorname E(Y))\bigr]\\
&= ac\operatorname{Cov}(X,Y)
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\operatorname{Cov}[X,(eY+f)+(gZ+h)] &= \operatorname E\bigl[(X - \operatorname E(X)) \cdot (eY+f+gZ+h - \operatorname E(eY+f+gZ+h))\bigr]\\
&= \operatorname E\bigl[(X - \operatorname E(X)) \cdot (eY - e\operatorname E(Y) + gZ - g\operatorname E(Z))\bigr]\\
&= \operatorname E\bigl[(X - \operatorname E(X)) \cdot e(Y - \operatorname E(Y)) + (X - \operatorname E(X)) \cdot g(Z - \operatorname E(Z))\bigr]\\
&= e\operatorname E\bigl[(X - \operatorname E(X)) \cdot (Y - \operatorname E(Y))\bigr] + g\operatorname E\bigl[(X - \operatorname E(X)) \cdot (Z - \operatorname E(Z))\bigr]\\
&= e\operatorname{Cov}(X,Y) + g\operatorname{Cov}(X,Z) \qquad \Box
\end{align}</math>
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Matematikai statisztika|Kovariancia]]
| |||