S_n & = & a + (a + d) q& + &(a + 2d) q^2& + &(a + 3d) q^3& + &&\dots& + (a + (n-2)d) q^{n-2}& + (a + (n-1)d) q^{n-1}&\\
qS_n & = &=a+q\left[(a+d) aq& + & (a +2d d) q^2& + &(a +3d 2d) q^23& + &&\dots& & + (a + (n-2)d) q^{n-31}& + (a + (n-1)d) q^{n-2} \right]
\end{align}
</math>
A két egyenletet egymásból kivonva azt kapjuk, hogy
Megfigyelhető, hogy az eredeti összeg és a kiemelés után a zárójelen belül maradt rész rendkívül hasonló az eredeti összeghez: ha az eredeti összeg minden tagjához hozzáadunk egy ''d''-t és kivonjuk az utolsó tagot, akkor pontosan a zárójelen belül maradt részt kapjuk.
:<math>
\begin{align}
(1-q)S_n &\ = a + d(a + d)q + (a + 2d)q^2 + (a + 3d)q^3 + \dots + (a + (n-2)d)q^{n-21}) +- (a + (n-1)d) q^{n-1} \\
+(1-q)S_n &\ d= a + d(q + d q^2 + d q^3 + \dots + d q^{n-21}) + - (a + nd - d) q^{n-1} \\
=(1-q)S_n &\= (a + d) + (aq + 2d)q^2 + (a + 3d) q^23 + \dots + (a + (n-1)d)q^{n-21}) +- (a + nd) q^{n-1} + dq^{n} \\
