„Tait tézise” változatai közötti eltérés

== Finitizmus és formalizmus ==

 

 

A [[formalizmus]] – melynek Hilbert jeles képviselője – szinte teljesen ideológiamentes, meglehetősen liberális matematikafilozófiai keretelmélet. Megfér alatta egymás mellett a logicista, a nem-klasszikus logikát előnyben részesítő, a bizonyos szempontból realista és az antirealista szemlélet is, amennyiben elfogadja a következő látásmódot. A formalisták szerint a matematika nem más, mint formális nyelvi elméletek összessége, vagy legalább is a matematikai tevékenység minden körülmények között leírható formális kifejezésekkel. A matematikai állítások jelsorozatok, köztük az axiómák és a tételek is, mely utóbbiaknak érvényessége a logika formális szabályai szerint ellenőrizhetők és az axiómák érvényességére vezethetők vissza. Minden matematikai tevékenység kimerül véges szimbólumsorozatokkal történő grafikus manipulációkban. A matematika elméletei matematikailag elemezhetők, vizsgálhatók, mint szimbólumrendszerek. Hilbert szerint, az általa [[metamatematika|metamatematikának]] nevezett matematikai elmélet feladata, hogy ezen rendszerek ellentmondásmentességét, nemteljességét és további egyéb tulajdonságait feltárja. Filozófiai szempontból ezen tulajdonságok közül az ellentmondásmentesség a legfontosabb tulajdonság. Ha ugyanis egy klasszikus logikai rendszer ellentmondásos, akkor benne minden állítás és mindegyik negációja is tétel, így az elmélet teljesen [[irreleváns]] állításokat tesz tárgyáról. Alapvető tehát, hogy egy gyakran alkalmazott elmélet (például a [[halmazelmélet]]) ellentmondásmentességét bebizonyítsuk ("konzisztenciabizonyítások"). A kérdés, hogy milyen eszközöket alkalmazhatunk a bizonyítás során, ha az a célunk, hogy biztosabb alapra helyezzük alapvető elméleteinket. (Például egy halmazelméleti bizonyítás alapján várni a halmazelmélet ellentmondásmentességét ugyanolyan naiv dolog, mint a "bolond vagy-e?" kérdés alapján várni, hogy megállapíthatjuk a kérdezett elmeállapotát. Világos, hogy a kérdésre adott válaszból nem fogjuk tudni megmondani, hogy így van-e vagy sem.)