„Gömbkoordináták” változatai közötti eltérés

a
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(→‎A vektortérbázis transzformációja: Vektormező transzformációja)
A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a <math>z</math>-tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla.
===A vektortérbázis transzformációja===
A <math>\varphi</math> koordinátához tartozó <math>\mathbf{e}_\varphi</math> [[bázis (lineáris algebra)|bázisvektor]] adja meg egy<math>P(r, \theta, \varphi)</math> pont mozgásirányát, ha a <math>\varphi</math> koordinátát a <math>d\varphi</math> [[infinitezimális mennyiséggelmennyiség]]gel elmozdítjuk:
:<math>\mathbf{e}_\varphi \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial\varphi}</math>.
 
=-r\sin\theta\sin\varphi\mathbf{e}_x
+r\sin\theta\cos\varphi\mathbf{e}_y</math>.
Ahhoz, hogy [[ortonormált bázistbázis]]t kapjunk, még le kell normálni az <math>e_\varphi</math> vektort:
:<math>\mathbf{e}_\varphi = -\sin\varphi\, \mathbf{e}_x + \cos\varphi\, \mathbf{e}_y</math>.
 
=(\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi)\cdot S^T</math>.
 
Az egyes koordinátákhoz tartozó irányookatirányokat nevezik radiális, meridionális és azimutális irányoknak. Ezek a fogalmak nemcsak a csillagászatban és a földtudományokban, hanem a fizikában, a matematikában és mérnöki tudományokban is fontosak. Például a [[Hertz-dipólus]] esetén, ha az antenna kifeszítésének iránya a <math>z</math>-tengely, akkor a sugárzás radiális irányú, míg az elektromos erőtér meridionális, a mágneses erőtér azimutális irányban rezeg.
===Vektormező transzformációja===
Egy vektornak, mint geometriai entitásnak, függetlennek kell lennie a koordinátarendszertől:
\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}
=S \cdot \begin{pmatrix} A_r \\ A_\theta \\ A_\varphi \end{pmatrix}
</math> &nbsp;&nbsp;beziehungsweiseilletve&nbsp;&nbsp; <math>
\begin{pmatrix} A_r \\ A_\theta \\ A_\varphi \end{pmatrix}
=S^T \cdot \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}