„Nemeuklideszi geometria” változatai közötti eltérés

[[Bolyai János|Bolyai]] és [[Lobacsevszkij]] a párhuzamost egy külső pont körül forgatott szelők határhelyzeteként definiálják. Az <math>AM</math> egyenesen kívül fekvő <math>B</math> pont körül forgatott egyenesek közül az a <math>BC</math> párhuzamos az <math>AM</math>-mel, amelyik '''elpattan tőle'''. Más fogalmazásban a forgatott egyenesek közül a párhuzamos az '''első nem metsző'''. [[Bolyai János|Bolyai]] ezt a párhuzamost ''asszimptotikusaszimptotikus párhuzamosnak'', vagy egyszerűbben ''asszimptotánakaszimptotának'' nevezte. <ref><A történeti hűséghez tartozik, hogy Lobacsevszkij és Bolyai szemlélete között a lényeget nem érintő eltérés van: Lobacsevszkij a külső ponton átmenő egyenesek két osztályát – a metszőkét és a nem-metszőkét – elválasztó két egyenest nevezi párhuzamosnak, míg Bolyai a külső pontból induló félegyenesekről és ezek forgatásáról beszél.></ref>

Mivel a forgatott egyenes egyre távolabb metszi az <math>AM</math> egyenest, kísérlettel nem lehet eldönteni, hogy mikor, az <math>\alpha</math> szög milyen értékénél következik be ez az elpattanás. A két kutató ezt a szöget a '''párhuzamosság szögének''' nevezte. Mindketten eljutottak annak felismeréséig, hogy a párhuzamossági szög a <math>B</math> pont és az <math>AM</math> egyenes közötti távolsággal összefüggésben van: <math>\Pi (a)</math>. Kettejük munkája között csupán annyi a lényeges különbség, hogy [[Lobacsevszkij]] a definíciót követően szétválasztja a két lehetséges esetet és az euklideszitől eltérő '''hiperbolikus geometria''' tételeit, míg [[Bolyai János|Bolyai]] a két esetet együtt kezelve a kétféle geometria közös részét, az '''abszolút geometria''' tételeit dolgozta ki. Az az eredmény is közismert, hogy a háromszögek szögeinek összege is aszerint egyenlő, vagy kisebb két derékszögnél, hogy a síkja euklideszi vagy hiperbolikus.

A hiberbolikushiperbolikus elnevezést a párhuzamos egyenes és a hiperbola rokonítása magyarázza. E geometriában a párhuzamosok közötti távolság csökken, asszimptotikusanaszimptotikusan közelednek egymáshoz. Ugyancsak fontos különbséget jelent, hogy a balra forgatott egyenes által meghatározott párhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idézett I.23. definíciónak.