„Lineáris differenciálegyenlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
periodikus rendszerek alaprendszerének struktúrája |
→Periodikus rendszerek: ω szerint periodikus megoldások létezése homogén rendszeresetén |
||
57. sor:
Az <math>\ y'(x)= A(x)y(x)</math> rendszer Φ alaprendszere <math>\ \Phi(x) = P(x)\exp(xR)</math> alakú, ahol <math>P: \mathbb{R}\rightarrow GL(m; \mathbb{C})</math> folytonosan differenciálható, és ω szerint periodikus, és a <math>R \in \mathbb{C}^{m \times m}</math> mátrix konstans.
Már csak az a kérdés, hogy léteznek-e ω szerint periodikus megoldások.
Jelölje <math>L_\omega := \{y \in C^1(\mathbb{R}; \mathbb{R}^m)\ |\ y'(x) = A(x)y(x)\ \textrm{und}\ y\ \omega\textrm{-periodisch}\}</math> a homogén egyenlet ω szerint periodikus megoldásainak halmazát!
Ha Φ a homogén <math>y' = A(x)y</math> rendszer alaprendszere, akkor <math>\Phi(\omega)\Phi(0)^{-1}</math> sajátértékei a homogén rendszer ''karakterisztikus multiplikátorai''. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén <math>y' = A(x)y</math> rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.
==Források==
* Herbert Amann: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
| |||