„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→A tétel általánosításai: komplex számokra |
|||
71. sor:
:<math>\Big| |x|{-}|y|\Big| \le |x{\pm}y| \le |x|{+}|y|</math> minden <math>x,\,y\in\R</math>-re.
===Komplex számokra===
Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség::
:<math>|z_1{}+z_2| \le |z_1|{+}|z_2|.</math>
'''Bizonyítás:'''
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
:<math>
z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\
\le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace{|z_1 z_2|}_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2},
</math>
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a <math>z\mathrel{:=\,} z_1\overline{z_2}</math> helyettesítést elvégezve
:<math>z{+}\bar z \le 2{|z|}</math>
A ''z'' komplex szám algebrai alakja legyen <math>z = u{+}iv</math>. Ezzel
:<math>(u{+}iv){+}(u{-}iv) = 2u \le 2\sqrt{u^2{+}v^2}</math>
és
:<math>|u| \le \sqrt{u^2{+}v^2},</math>
ami <math>0 \le v^2\ </math> és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.
== Forrás ==
| |||