„Megoldóképlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a kisebb formai javítások |
|||
1. sor:
A '''megoldóképlet''' az n-edfokú
<center><math>a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+ ... +a_1 \cdot x + a_0=0</math> </center>
10. sor:
Először [[Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) bizonyította szabatosan az [[algebra alaptétele|algebra alaptételét]], mely szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül mind [[Valós számok|valósak]]. Az n-edfokú egyenlet általában csak a [[Komplex számok|komplex]] számkörben oldható meg.
== Megoldóképletek ==
=== Elsőfokú egyenlet ===
Az <math>a \cdot x + b = 0</math> elsőfokú egyenlet esetében
:<math>x = -\frac{b}{a} </math> megoldóképlet adja meg a megoldást.
=== Másodfokú egyenlet ===
{{
Az <math>a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0</math> alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete:
25. sor:
A másodfokú egyenlet megoldóképletét először, a mai alakhoz hasonló egységes formában (a felesleges, együtthatókkal kapcsolatos esetszétválasztások nélkül) [[Michael Stifel]] (1487-1567) írta fel, bár a mainál sokkal esetlenebb jelölésekkel.
=== Harmadfokú egyenlet ===
A [[harmadfokú egyenlet megoldóképlete|harmadfokú esetre]] elméletben legalábbis a [[Girolamo Cardano]] (1501-1576) nevét viselő úgynevezett [[Cardano-képlet]] használható. A Cardano képlet megtekinthető itt: [http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion.htm]. A harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldóképlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a [[Valós számok|valós]] számkörből és, ha csak átmenetileg is, de belépünk a [[komplex számok]] világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége.
=== Negyedfokú egyenlet ===
A [[negyedfokú egyenlet|negyedfokú esetre]] a megoldóképlet Cardano tanítványától, [[Ludovico Ferrari]]tól származik. Az ő módszere a teljes négyzetté alakítás volt. Egy évszázad múlva [[Descartes]] (René Descartes Du Peron) Módszer-ében közölt zárt képletének alapja két másodfokú polinom szorzata volt, ahol a két elsőfokú tag egymás inverze volt.( ti. így kiesik a harmadfokú tag.)
A negyedfokú egyenlet megoldóképlete csak egy érdektelen részlet a matematikatörténetben a harmad- és az ötödfokú egyenlet megoldóképletéhez képest.
Az ötödfokú egyenlet megoldóképletének az a jelentősége, hogy nem létezik.
Megjegyzés: A megoldóképleteket a fent csatolt formában használni szinte lehetetlen; ezzel ne is próbálkozzon senki. Ha mindenképpen zárt alakban kell megoldanunk egy harmad- ill. negyedfokú egyenletet, akkor célszerűbb a levezetést követni.
=== Ötöd- vagy magasabb fokú egyenlet ===
[[Niels Henrik Abel]] (1802-1829) bebizonyította, hogy az 5-ödfokú esetben nem található megoldóképlet. Ez nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, hanem, hogy nincs olyan véges lépés után véget érő számítási eljárás, amely csak a négy algebrai műveletet továbbá a gyökvonást használja és általános módszert szolgáltatna a gyökök megkeresésére (azaz minden egyenlet esetén ugyanazzal az eljárással előállíthatnánk a gyököket). Később [[Évariste Galois]] (1811-1832) megmutatta, hogy az 5-nél magasabb fokú esetekben sem létezik megoldóképlet.
== Forrás ==
* Sain Márton: „Matematikattörténeti ABC”, Tankönyvkiadó, 1978.;
* „Nincs királyi út”, Gondolat, 1986.
| |||