„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

 

Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "'''két pont között a legrövidebb út az egyenes'''", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.

Valós számokra: <math>|a+b| \le |a|{+}|b|.</math>

 

 

:<math>\Big| |x|{-}|y|\Big| \le |x{\pm}y| \le |x|{+}|y|</math> minden <math>x,\,y\in\R</math>-re.

Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség::

 

 

:<math>\Big| |z_1|{-}|z_2|\Big| \le |z_1{\pm}z_2| \le |z_1|{+}|z_2|</math> minden <math>z_1,\,z_2\in\mathbb{C}</math>-re.

A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval

 

 

:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right| =\int_I\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_I|f(x)|\, dx</math>.

Vektorokra:

 

 

:<math>\left|\sum_{i=1}^{n} \vec{a_i}\right| \leq \sum_{i=1}^{n}\left|\vec{a_i}\right|. </math>

[[Fájl:Sws sphaerisch.PNG|thumb|Két általános gömbháromszög]]

A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz ''a'' < π, ''b'' < π és ''c'' < π. Általános gömbháromszögekre a tétel ''nem'' igaz.

:<math>\left|a - b\right| \le c_1 \le a + b,</math>

de <math>c_2 > a+b</math>, ahol még az is igaz, hogy <math>c_2 > \pi.</math>

Az <math>\left(X,\|.\|\right)</math> normált térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

 

 

Speciálisan, az L^''p''-terekben a háromszög-egyenlőtlenséget [[Minkowski-egyenlőtlenség]]nek nevezik, és a [[Hölder-egyenlőtlenség]]gel bizonyítják.

Az <math>\left(X,d\right)</math> metrikus térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

 

 

[[en:Triangle inequality]]

[[bg:Неравенство на триъгълника]]

[[ca:Desigualtat triangular]]