„Binomiális együttható” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a →Általánosításai: képlet jav |
Alkalmazásai - a kombinatorikában |
||
44. sor:
ahol ''n''! az ''n'' faktoriálisát fejezi ki. Ez a képlet a fenti szorzási képletből adódik a számláló és nevező {{nowrap|(''n'' − ''k'')!}}-vel való megszorzásával; következményképpen a számláló és nevező sok közös tényezőjét magában foglalva. Kevésbé praktikus nyílt számításra, hacsak nem iktatjuk ki a közös tényezőket először (mivel a faktoriális értékek nagyon gyorsan nőnek). A képlet egy szimmetriát is mutat, ami nem annyira nyilvánvaló a szorzási képletből (habár a definíciókból jön)
:<math> \binom nk = \binom n{n-k} \quad \mbox{ahol }\ 0\leq k\leq n.</math>
==Alkalmazásai==
A binomiális együtthatóknak több különféle alkalmazása van.
===A kombinatorikában===
A binomiális együtthatók központi szerephez jutnak a leszámláló kombinatorikában, ahol is <math>_{n \choose k}</math> az ''n'' elemű halmaz ''k'' elemű részhalmazainak száma, vagyis ennyiféleképpen lehet ''n'' elem közül kiválasztani 'k''-t a sorrend figyelembe vétele nélkül.
Szemléletesen, kiszámítjuk az összes ''n'' hosszú sorozatot, majd kiválasztunk ''k'' helyet, és azt akarjuk tudni, hogy hányféleképpen tölthetők fel ezek a helyek. Mivel az elemek sorrendje nem játszik szerepet, ezért osztani kell ''k''-sal; és mivel az érdektelen elemek sorrendje szintén nem fontos, ezért osztunk (''n''-''k'')!-sal is.
==Általánosításai==
| |||