Euler-integrál

A matematikában kétféle Euler-integrál ismert:

1. Az elsőfajú Euler-integrál a béta-függvény:

   $\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

2. A másodfajú Euler-integrál a gamma-függvény:

   $\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

Pozitív egész m és n-re mindkét integrál kifejezhető faktoriálisokkal és binomiális együtthatókkal:

$\mathrm {\mathrm {B} } (n,m)={(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}$

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

Irodalom

• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  
• James, Ioan: Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. (hely nélkül): Cambridge. 2002. 109–113. o. ISBN 0-521-52094-0  

Kapcsolódó szócikkek

• Leonhard Euler
• Valószínűségszámítás
• Béta-függvény
• Gamma-függvény

Források

• http://mathworld.wolfram.com/EulerIntegral.html