Gauss-összeg

a számelmélet egyik fontos fogalma
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. május 21.

A Gauss-összeg a számelmélet egyik fontos fogalma.

Ha páratlan prímszám, az „első” p-edik egységgyök, akkor a

összeget nevezzük Gauss-összegnek.

Könnyű belátni, hogy értéke vagy ha 4-gyel osztva 1-et ad maradékul és vagy ha 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Gauss 1801 májusában naplójában rögzítette azt a sejtését hogy a helyes érték mindig illetve . Ezt négy évig nem tudta igazolni, noha, mint barátjának, Olbersnek 1805. szeptember 3-án megírta, nem volt olyan hét, amikor ne vette volna elő a problémát. Végül „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst…” (váratlan villámcsapásként megláttam a probléma megoldását).

Általánosítás

szerkesztés

Gauss általánosan megmutatta, hogy minden pozitív egész   számra, ha

 

akkor

 

Gauss vizsgálta a

 

összeget is. A Disquisitiones Arithmeticae-ben megállapította, hogy ha  , akkor   alakban írható, és ha kikötjük, hogy   legyen, akkor   gyöke az irreducibilis   polinomnak.