Szakaszfelező merőleges

geometriai fogalom

Egy szakasz szakaszfelező merőlegese egy adott síkban egy olyan egyenes, amelynek minden pontja az szakasz és végpontjaitól egyenlő távolságra van. merőleges -ra, és áthalad annak felezőpontján. Térbeli megfelelője a szakaszfelező sík.

Szakaszfelező merőleges szerkesztése
Egyenlő szárú háromszögben az alap felezőmerőlegese a szárak által bezárt szög felezője

Más megfogalmazásban: két pontot összekötő szakasz szakaszfelező merőlegese a két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (mértani helye) a síkban.[1]

Ekvivalensen, a mindkét ponton átmenő körök középpontjai alkotják a szakaszfelező merőlegest. A szerkesztés ezt a tulajdonságot használja fel, mivel a két pontból ugyanazzal a sugárral húz kört, és összeköti a keletkezett metszéspontokat. Ahhoz, hogy a metszéspontok létezzenek, kell, hogy a sugarak szigorúan nagyobbak legyenek, mint a szakasz fele.

Adva legyen a szakasz két végpontjával a derékszögű Descartes-koordináta-rendszerben. Jelölje ezeket és ! Ha , akkor a szakaszfelező merőleges egyenlete:

Ha , akkor az egyenlet:

A háromszög oldalfelező merőlegeseiSzerkesztés

A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek. Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.

Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás: Legyen az   háromszög   oldalának felezőmerőlegese  , ennek minden pontja egyenlő távolságra van  -tól és  -től is. A   oldal felezőmerőlegese pedig legyen  , aminek minden pontja egyenlő távolságra van  -től és  -től.   és   oldal metszik egymást, így a felezőmerőlegeseik is, legyen a metszéspont  , ekkor   azonos távolságra van  -tól,  -től és  -től, vagyis   rajta van   oldal felezőmerőlegesén is.

Ez a pont éppen a háromszög köréírt körének középpontja, mivel minden csúcstól egyenlő távolságra van. Hegyesszögű háromszög esetén ez a háromszög belsejében van. Derékszögű háromszögben az átfogó középpontja, és egybeesik az átfogó Thalész-körével. Tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül található.

Egyenlő szárú háromszögben az alap felezőmerőlegese felezi a szárak által bezárt szöget.

A koordinátageometriábanSzerkesztés

Az   és   pontok által meghatározott szakasz felezőmerőlegesét a koordinátageometriában így számíthatjuk síkban és térben:

Vezessük be az   jelölést, illetve legyen   támaszpont, melynek helyvektora  . Ekkor

 

a szakaszfelező merőleges egyenlete.

JegyzetekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  • Rolf Baumann. Geometrie mit Übungen und Lösungen. München: Mentor (2002) 
  • Cornelia Niederdrenk-Felgner. Lambacher-Schweizer Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden Württemberg). Stuttgart: Klett (1994) 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mittelsenkrechte című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.