Köréírt kör
A geometriában egy sokszög köréírt köre (esetleg: körülírt vagy körülírható (stb.) köre) az a kör, ami a poligon összes csúcsán átmegy. Az ilyen sokszög neve húrsokszög. Minden háromszögnek van körülírható köre (húrháromszög),[1] háromnál több csúcsú poligonokra ez általában nem igaz. A húrnégyszögek közé tartoznak speciálisan a húrtrapézok, köztük a téglalapok és a négyzetek is. Azok az egyszerű sokszögek, melyek rendelkeznek köréírt körrel, mindig konvexek.
Háromszög köréírt köre
szerkesztésEgy háromszög köréírt körének középpontja a három oldal szakaszfelező merőlegesének közös metszéspontjában van. Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, tompaszögűnél azon kívül van. Derékszögűnél éppen az átfogó felezőpontja (ez a Thalész-tétel). A köréírt kör középpontja egy egyenesen van a súlyponttal és a magasságponttal; ez az Euler-egyenes. A köréírt kör kerülete éppen kétszerese a Feuerbach-körének. A háromszög egy oldalának felezőmerőlegese és az adott oldallal szemközti szög felezője éppen a körül írt körön metszi egymást.
A háromszög köré írt kör középpontja
szerkesztésTétel: A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.
Bizonyítás: A háromszög AB oldalának felező merőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a háromszög A és B csúcsától. Hasonlóan, a BC oldal felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a B és a C csúcstól. Ezért ez a metszéspont egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól, tehát ez a köré írt kör középpontja, és a harmadik felezőmerőleges is ezen a ponton megy át.
A középpont trilineáris koordinátái , másként , baricentrikus koordinátái
Jelölje a beírt kör sugarát r, a köré írt kör sugarát R. Ekkor a két kör középpontjának távolsága .
A háromszög köré írt kör sugara
szerkesztésA szokásos jelölésekkel:
Szabályos sokszög köré írt kör sugara
szerkesztésAz a oldalhosszúságú szabályos n-szög köré írt kör sugara:
Jegyzetek
szerkesztés- ↑ Ez az állítás az abszolút geometriát megadó bármely axiómarendszert alapul véve, ekvivalens a párhuzamossági axiómával.