Természetes sűrűség

A matematika, azon belül a számelmélet területén természetes sűrűség (aszimptotikus sűrűség vagy aritmetikai sűrűség) a természetes számok halmazán belül egy részhalmaz nagyságát meghatározó egyik mérték.

Természetes intuíció alapján úgy vélhetnénk, hogy a négyzetszámok kevesebben vannak a pozitív egész számoknál, hiszen a négyzetszámok eleve pozitív egészek, és rajtuk kívül rengeteg pozitív egész szám létezik. Valójában azonban a pozitív egész számok éppen ugyanannyian vannak, mint a négyzetszámok: mindkét halmaz végtelen, megszámlálható, ezért létezik közöttük 1:1 megfeleltetés. Ennek ellenére, ha a természetes számokon növekvő sorrendben végigmegyünk, egyre kevesebb négyzetszámot találunk. Ezt az intuíciót próbálja precízen megragadni a természetes sűrűség fogalma.

Ha véletlenszerűen kiválasztunk az [1, n] intervallumból egy egész számot, akkor annak a valószínűsége, hogy az A halmazba tartozik, éppen az A halmaz [1, n]-be eső elemeinek száma elosztva az [1, n]-be eső természetes számok számával. Ha ez a valószínűség valamilyen határértékhez tart, miközben n tart a végtelenhez, akkor ezt a határértéket tekintjük A természetes sűrűségének. Ez a szám úgy is felfogható, hogy az A halmazból való elemválasztás valószínűsége. Valóban, az aszimptotikus sűrűséggel (és néhány más sűrűségfajtával) a valószínűségi számelmélet foglalkozik.

Az aszimptotikus sűrűséggel szembe szokás állítani például a Schirelmann-sűrűséget. Az aszimptotikus sűrűség alkalmazásának egyik hátránya, hogy nem minden részhalmazára értelmezhető.

DefinícióSzerkesztés

Pozitív egész számok egy A részhalmaza α aszimptotikus sűrűséggel rendelkezik, ha 1 és n közti természetes számok között az A elemeinek aránya aszimptotikusan α, ahogy n tart a végtelenhez.

Explicitebben, definiáljuk a természetes számokon értelmezett a(n) számláló függvényt úgy, hogy az minden n-re megadja az A-ban található, n-nél nem nagyobb elemek számát; ekkor az, hogy A természetes sűrűsége α a következőt jelenti:[1]

a(n)/n → α, ahogy n → +∞.

A definícióból következik, hogy ha az A halmaz α természetes sűrűséggel bír, akkor 0 ≤ α ≤ 1.

Alsó és felső aszimptotikus sűrűségekSzerkesztés

Legyen   az   természetes számok egy részhalmaza. Bármely  -re legyen   és  .

Az   felső aszimptotikus sűrűségét,  -t a következőképpen definiáljuk:

 

ahol lim sup a legkisebb felső korlát.  -t egyszerűen az   felső sűrűségének is nevezik.

Hasonlóan  , az   alsó aszimptotikus sűrűsége a következőképpen határozható meg:

 

Akkor mondható el, hogy   aszimptotikus sűrűsége   ha  , amikor is   ezzel a közös értékkel egyezik meg.

Ez a definíció a következőképpen is megfogalmazható:

 

ha a határérték létezik.[2]

Bizonyítható, hogy a definíciókból az alábbiak is következnek. Ha az   részhalmazát felírjuk növekvő sorozatként:

 

akkor

 
 

és   ha a határérték létezik.

MegjegyzésSzerkesztés

A sűrűség valamelyest gyengébb meghatározása a felső Banach-sűrűség; vegyünk egy   halmazt, ekkor legyen   a következő:

 

Tulajdonságok és példákSzerkesztés

  • Ha valamely A halmaznak létezik d(A) természetes sűrűsége, akkor a komplementerhalmazra igaz, hogy d(Ac) = 1 − d(A).
  • Ha  ,   és   léteznek, akkor  .
  • Bármely A, B halmazra  .
  • A természetes számok halmazának d(N) természetes sűrűsége éppen 1.
  • Pozitív egész számok bármely F véges halmazára d(F) = 0.
  • Ha  , a négyzetszámok halmaza, akkor d(A) = 0.
  • Ha   a páros számok halmaza, akkor d(A) = 0,5. Hasonlóan, bármely   számtani sorozatra igaz, hogy d(A) = 1/a.
  • Az összes prímszám P halmazára a prímszámtétel alapján d(P) = 0.
  • A négyzetmentes számok halmazának sűrűsége  
  • A bővelkedő számok sűrűsége nem nulla.[3] Marc Deléglise 1998-ban megmutatta, hogy a bővelkedő és tökéletes számok aszimptotikus sűrűsége 0,2474 és 0,2480 között van.[4]
  • Azon számok   halmaza, melyek bináris kifejtése páratlan számjegyet tartalmaz jó példa olyan halmazra, aminek nincs aszimptotikus sűrűsége, mivel felső sűrűsége:
 
míg az alsó sűrűsége:
 
  • Hasonlóan, a tízes számrendszerben 1-essel kezdődő számok halmazának sincs természetes sűrűsége: alsó sűrűsége 1/9, felső sűrűsége 5/9.[1]
  • Tekintsük az   egyenletes eloszlású sorozatot a   intervallumban, és definiáljunk egy monoton   halmazcsaládot:
 
Ekkor definíció szerint   minden  -re.

Egyéb sűrűségfüggvényekSzerkesztés

A természetes számok részhalmazaira analóg módon hasonló sűrűségfüggvények definiálhatók. Például az A halmaz logaritmikus sűrűségén a következő határérték értendő (ha az létezik):

 

A felső és alsó logaritmikus sűrűségek is analóg módon definiálhatók.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Natural density című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b Tenenbaum (1995) p.261
  2. Nathanson (2000) pp.256–257
  3. Divisors, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 95. o. (1988). ISBN 0-521-34056-X 
  4. Deléglise, Marc (1998). „Bounds for the density of abundant integers”. Experimental Mathematics 7 (2), 137–143. o. DOI:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458.