Toeplitz-sejtés

Question dropshade.png A matematika megoldatlan problémája:
Van-e minden Jordan-görbének beírt négyzete?
(A matematika további megoldatlan problémái)

A Toeplitz-sejtés, más néven a beírt négyzet problémája a geometria egy megválaszolatlan kérdése. A kérdés ez: Tartalmazza-e minden egyszerű zárt síkgörbe egy négyzet összes csúcsát? Speciális esetekben ismert a válasz, például konvex, vagy szakaszonként sima görbékre. Otto Toeplitz 1911-ben vetette fel.[1] Már Arnold Emch[2] és Lev Schnirelmann[3] is igenlő választ adott egyes speciális esetekre. Az általános eset azonban még 2012-ben is megoldatlan maradt.

A szaggatott fekete vonallal rajzolt görbe több négyzet csúcsain is átmegy

ÁttekintésSzerkesztés

Legyen C Jordan-görbe. A P poligon C-be van írva, ha C P összes csúcsát tartalmazza. A Toeplitz-sejtés kérdése tehát így hangzik:

Tartalmaz-e minden zárt síkbeli Jordan-görbe beírt négyzetet?

Nincs megkövetelve, hogy a csúcsokat a bejárás szerinti sorrendben tartalmazza. Ha C tompaszögű háromszög, akkor a beírt négyzet egyértelmű.

A legáltalánosabb eredményt Stromquist adta, ami minden lokálisan monoton görbére igenlő választ ad.[4] Ez azt jelenti, hogy a görbe minden pontjának környezete előáll függvénygrafikonként. Pontosabban, ha C görbe, és p tetszőleges pontja C-nek, akkor van egy U(p) környezet, hogy C-nek nincs az n(p) iránnyal párhuzamos húrja, ahol n(p) a helyi normális. EZ magában foglalja a konvex görbéket.

Az igenlő válasz középpontosan szimmetrikus görbékre is ismert.[5]

Változatai és általánosításaiSzerkesztés

Meg lehet kérdezni azt is, hogy milyen további alakzatok írhatók egy tetszőleges Jordan-görbébe. Ismert, hogy bármely T háromszögre és Jordan-görbére a görbébe beírható egy T-hez hasonló háromszög.[6][7] Sőt, az ilyen háromszögek csúcsai sűrűek a görbén.[8] Speciálisan, egyenlő oldalú háromszög is írható tetszőleges Jordan-görbébe. Ismert, hogy téglalap is írható tetszőleges Jordan-görbébe.

A probléma egyes általánosításai beírt sokszögekkel foglalkoznak. Még általánosabban, magasabb dimenziós terekben nem üres, összefüggő, kompakt metrikus tereket keresnek. Stromquist például belátta, hogy minden Rn-beli görbének van beírt egyenlő oldalú és egyenlő átlójú négyszöge, amelynek minden pontjának egy alkalmas környezetében nincsenek merőleges húrjai.[4] Ez a görbeosztály tartalmazza az összes C2-görbét, azaz a kétszer folytonosan differenciálható görbéket. Nielsen és Wright megmutatta, hogy minden Rn-beli szimmetrikus kontinuum sok beírt téglalapot tartalmaz.[5] H.W. Guggenheimer bebizonyította, hogy minden, az n-gömbhöz C3-diffeomorf hiperfelület tartalmazza az euklideszi n dimenziós kocka 2n csúcsát.[9]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.
  2. Emch, Arnold (1916), "On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs", American Journal of Mathematics 38 (1): 6–18, DOI 10.2307/2370541.
  3. Šnirel'man, L. G. (1944), "On certain geometrical properties of closed curves", Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk 10: 34–44.
  4. a b Stromquist, Walter (1989), "Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves", Mathematika 36 (2): 187–197, DOI 10.1112/S0025579300013061.
  5. a b Nielsen, Mark J. & Wright, S. E. (1995), "Rectangles inscribed in symmetric continua", Geometriae Dedicata 56 (3): 285–297, DOI 10.1007/BF01263570.
  6. Meyerson, Mark D. (1980), "Equilateral triangles and continuous curves", Fundamenta Mathematicae 110 (1): 1–9.
  7. Kronheimer, E. H. & Kronheimer, P. B. (1981), "The tripos problem", The Journal of the London Mathematical Society, Second Series 24 (1): 182–192, DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182.
  8. Nielsen, Mark J. (1992), "Triangles inscribed in simple closed curves", Geometriae Dedicata 43 (3): 291–297, DOI 10.1007/BF00151519.
  9. Guggenheimer, H. (1965), "Finite sets on curves and surfaces", Israel Journal of Mathematics 3: 104–112, DOI 10.1007/BF02760036.

Ajánlott irodalomSzerkesztés

Külső linkekSzerkesztés