Vita:Hilbert-féle illeszkedési tér

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Részstruktúra

Legyen ${\mathfrak {H}}:=\left(P,{\mathcal {E}},{\mathcal {S}}\right)$ Hilbert-féle illeszkedési tér, és P'⊆P olyan ponthalmaz, amelynek számossága még 4-nél nagyobb. Legyen ${\mathcal {E}}':=\left\{x\subset P'\ |\ \exists y\in {\mathcal {E}}\left(x=y\cap P'\right)\right\}$ és ${\mathcal {S}}':=\left\{x\subset P'\ |\ \exists y\in {\mathcal {S}}\left(x=y\cap P'\right)\right\}$. Ekkor ${\mathfrak {H}}':=\left(P',{\mathcal {E}}',{\mathcal {S}}'\right)$ is Hilbert-féle illeszkedési tér, melyet a ${\mathfrak {H}}$ tér P' részhalmaza által generált Hilbert-féle illeszkedési térnek nevezünk.

A szimplex modellek

Érdekes ötlet, de attól tartok, rossz:

Ha adott egy n>3 elemű véges (pont)halmaz - legyen P :={ P₁, P₂, ..., P_n, }; ebből is mindig konstruálhatunk egy Hilbert-féle illeszkedési teret. Legyen ${\mathcal {E}}\ :=\ \left\{x\subseteq P\ |\ |x|=2\right\}$ $\subseteq$ ${\mathcal {P}}(P)$ a P összes kételemű, és ${\mathcal {S}}\ :=\ \left\{y\subseteq P\ |\ |y|=3\right\}$ $\subseteq$ ${\mathcal {P}}(P)$ a P összes háromelemű részhalmazának halmaza, eszerint $|{\mathcal {E}}|={n \choose 2}={\frac {(n-1)n}{2}}$ db egyenes és $|{\mathcal {S}}|={n \choose 3}={\frac {(n-2)(n-1)n}{6}}$ db. sík létezik.

Megjegyezzük, hogy a minimális modell is szimplex modell (n=4), továbbá, hogy a P végessége nem szükséges feltétel, a konstrukció ez esetben is Hilbert-féle illeszkedési teret ad; csak ez esetben nem szokás szimplex modellről beszélni.

A „szimplex” elnevezést az indokolja, hogy adott n esetén az itt leírt szimplex modell a legyegyszerűbb példája a Hilbert-féle illeszkedési tér fogalmának, nincs olyan tér, mely n pontot tartalmazna, s emellett kevesebb egyenest vagy kevesebb síkot, mint bármely más modell.

Felvetődik viszont a kérdés: ha ez így, ebben a formában nem igaz, akor milyen n-ekre létezik véges Hilbert-geometria és nem-izomorf módon hányféle stb. (az sh-atlasz szerint pl. létezik 9-rendű Hilbert-geometria, le is van rajzolva, ráadásul euklideszi illeszkedési térnek is tekinthető). ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. június 28., 17:02 (CEST)

pontatlan axiómák

Véleményem szerint az egyik axióma pontatlanul van megfogalmazva:

(H4) Három (különböző) ponthoz egy és csak egy sík található, amely őket tartalmazza.

helyesen:

(H4) Három (különböző) nem egy síkba eső ponthoz egy és csak egy sík található, amely őket tartalmazza.

Köszönöm, 1). valóban pontatlan, de 2). sem pontosabb (valójában, logikai ellentmondás). ketten csak összehozzuk :-)) ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. augusztus 14., 14:36 (CEST)

pontatlan tételek

Attól függően, hogy definiáljuk, hogy két alakzat metszi egymást (esetleg van közös pontjuk), nem jók a tételek.
1. Két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást.
helyett: Két egyenes egy pontban vagy egy egyenesben metszi egymást.
2. Két metsző (közös ponttal rendelkező) sík egyetlen egyenesben metszi egymást.
Két metsző (közös ponttal rendelkező) sík egyetlen egyenesben vagy síkban metszi egymást.Rochard 2007. június 27., 21:28 (CEST)