Szimplex

A szimplex a matematikában a háromszög illetve a tetraéder általánosítása végesdimenziós vektortérre. n dimenziós vektortérben n+1 affin független (azaz nem egy hipersíkba eső) pont konvex burkaként fogalmazható meg.

Jellemzése

egy n dimenziós szimplexnek létezik (n-1) dimenziós, (n-2) dimenziós,…, i dimenziós, …, 2 dimenziós, 1 dimenziós, 0 dimenziós lapja;
egy ilyen k dimenziós lap pontosan egy k dimenziós szimplexnek felel meg
0 dimenziós lapok a csúcsokat jelentik, ebből n dimenziós szimplex esetén n+1 darab van
1 dimenziós lapok az éleket jelentik, ebből n·(n + 1)/2 darab van
az i dimenziós lapok számát pedig ${n+1 \choose i+1}$ binomiális együttható adja meg.

Példák

A 0 dimenziós szimplex: azon x₁ nemnegatív (pozitív vagy 0) koordinátájú pontok halmaza az 1 dimenziós euklideszi térben (számegyenesen), amelyekre x₁ = 1. Ez egy pont.
Az 1 dimenziós szimplex: azon (x₁, x₂) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 2 dimenziós euklideszi térben (számsíkon), amelyekre x₁ + x₂ = 1. Ez egy szakasz.
A 2 dimenziós szimplex: azon (x₁, x₂, x₃) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 3 dimenziós euklideszi térben, amelyekre x₁ + x₂ + x₃ = 1. Ez egy ${\sqrt {2}}$ oldalú szabályos háromszög.
1 dimenziós szimplex egy A₁A₂ szakasz
- csúcsainak száma: 1+1=2
2 dimenziós szimplex a szabályos háromszög
- csúcsainak száma: 2+1=3
- éleinek száma: ${3 \choose 2}=3$ , ez az él pedig pontosan a 2-1 dimenziós szimplex
3 dimenziós szimplex a szabályos tetraéder
- csúcsainak száma: 3+1=4
- éleinek száma: ${4 \choose 2}=6$
- lapjainak száma pedig ${4 \choose 3}=4$ , ezek a lapok szabályos háromszögek, vagyis a 2 dimenziós szimplexek
4 dimenziós szimplexet származtathatjuk a következőképpen:
- a szabályos tetraéder belsejében, melynek csúcsait jelöljük A, B, C, D-vel, a 4. dimenzió mentén vegyünk fel egy E pontot, melyre teljesül, hogy az EA = EB = EC = ED = AB (azaz bármely két pont távolsága egyenlő).
- Az E pontot összekötve A-val, B-val, C-vel és D-vel egy 5 csúcsú, 10 élű, 10 lapú, és 5 tetraéder, mint 3 dimenziós lapot tartalmazó poliédert kapunk

További tulajdonságok

Tekintsük $n\leq 5$ esetén az n dimenziós teret. Ha ebben A₀, A₁, …A_i,…A_n n+1 darab pont, és az ezekbe mutató helyvektorokból képzett $\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{0}$ , $\mathbf {a} _{2}-\mathbf {a} _{0}$ , …, $\mathbf {a} _{n}-\mathbf {a} _{0}$ vektorok lineárisan függetlenek, akkor az A_i $(0\leq i\leq n)$ pontok konvex burka egy n dimenziós szimplex.
A szimplexeket egyszerűen ábrázolhatjuk gráfok segítségével: egy n dimenziós szimplexnek egy n+1 csúcsú teljes gráf felel ekkor meg.