Weierstrass faktorizációs tétele

A komplex analízisben Weierstrass faktorizációs tétele azt jelenti, hogy komplex számok minden előre megadott megszámlálható halmazához van holomorf függvény, aminek pontosan ezek a nullhelyei. Egy ilyen függvény megadható Weierstrass-szorzatként.

Motiváció

A nullhelyek véges halmazához megadható egy polinom, aminek ezek a gyökei. Ha ezek $a_{1},\dots a_{n}\;\in \mathbb {C}$, akkor a polinom $\left(1-{\frac {z}{a_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)$. Megszámlálható végtelen esetben a megfelelő szorzat nem konvergál, de a konvergencia biztosítható. Erről az

$1-z=\exp(\log(1-z))=\exp \left(-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}\right),\quad z\in \mathbb {C} ,|z|<1$

azonosság alapján tényezőket vezet be, amelyek alakja

$E_{n}(z):=(1-z)\exp \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {z^{k}}{k}}\right)$.

Az $E_{n}$ egyetlen nullhelye $1$-nél van, azonban az $1-z$-vel szemben az egységkör minden kompakt halmazán tetszőlegesen közel kerül $1$-hez, ha elég nagy. Ezzel elérhető a végtelen szorzat konvergenciája.

Weierstrass-szorzat

Legyen $D$ pozitív szorzó az $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ tartományban, és $a_{k}$ egy sorozat, amit úgy választunk, hogy $D=D(0)\cdot 0+\sum _{k}a_{k}$. Ez azt jelenti, hogy a sorozat végighalad $D$ tartóin a nullpontok kivételével a szükséges multiplicitással. Ez a $D$ divizorhoz tartozó sorozat.

Egy $z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}f_{k}(z)$ a $D$ divizor Weierstrass-szorzata, ha:

• $f_{k}$ holomorf $\Omega$-ban
• $f_{k}$-nak pontosan egy egy multiplicitású nullhelye van $a_{k}$-ban
• $\textstyle \prod _{k}f_{k}$ normálisan konvergál $\Omega$ minden kompakt részhalmazán.

Szorzattétel $\mathbb {C}$-ben

Minden pozitív $D$ divizorhoz vannak $\mathbb {C}$-ben Weierstrass-szorzatok, és alakjuk $z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}E_{k-1}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)$. Ahol $a_{k}$ a divizorhoz tartozó $D$ sorozat.

Következmények $\mathbb {C}$-ben

• Minden divizorhoz van meromorf függvény előre megadott null- és pólushelyekhez. Minden divizor fődivizor.
• Ha $h$ meromorf függvény, akkor vannak hozzá $f,g$ holomrf függvények, amelyeknek nincs közös nullhelyük úgy, hogy $h=f/g$. A meromorf függvények alkotják a holomorf függvények integritási tartományának hányadostestét.
• A holomorf függvények gyűrűjében minden gyűrűjében minden nemüres részhalmaznak van legnagyobb közös osztója, habár ez a gyűrű nem faktorizációs gyűrű.

Tetszőleges tartományban

Legyen $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ tartomány, $D$ pozitív divizor $\Omega$ tartományban, aminek $T$ a tartója, és jelölje $T':={\overline {T}}\!\setminus \!T$ $T$ torlódási pontjainak halmazát $\mathbb {C}$-ben. Ekkor a $D$ divizorhoz vannak Weierstrass-szorzatok $\mathbb {C} \!\setminus \!T'$-ben. Általában az $\Omega$ tartománynál nagyobb területen konvergálnak.

Stein-sokaságban

1895-ben Pierre Cousin tovább általánosította Weierstrass faktorizációs tételét, és bizonyította is $\mathbb {C} ^{n}$ cilindertartományaira. Arra azonban nem tudott megoldást találni, hogy konstruálható-e meromorf függvény egy adott divizorhoz. EZ volt a Cousin-probléma.

A problémát Jean-Pierre Serre oldotta meg 1953-ban: Ha $X$ Stein-sokaság, akkor egy divizor pontosan egy meromorf függvény divizora, hogyha Chern-kohomológiaosztálya eltűnik $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$-ben. Ekkor mivel $X$ Stein-sokaság és $H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0$, minden divizor fődivizor. Ekkor ugyanis a következő sorozat egzakt:

$0\to {\mathcal {O}}^{*}(X)\to {\mathcal {M}}^{*}(X)\to {\mathcal {D}}(X)\rightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to 0$

ahol ${\mathcal {D}}$ a divizorok nyalábja.

Források

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3.
• Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-00373-8.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Weierstraßscher Produktsatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.