Értékréses logika

Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2020. április 12.

Értékréses logikán olyan logikai rendszert értünk, ami lemond arról az igényéről, hogy minden állításnak legyen jól meghatározott igazságértéke. Ezáltal kezelhetővé válik a hazug paradoxona is.

Ehhez látszólag egy új igazságértéket vezet be, ami valójában az igazságérték hiányát jelzi. Ezt nevezik értékrésnek. Több forrásból is eredhet. Az értékrés tovább öröklődik a logikai műveleteken, a kvantorokon és (az értékréses modális logikában) a modális operátorokon át.

Alapfogalmak

szerkesztés
  • Individuum: mindazoknak a dolgoknak a halmaza, amikről csak szó lehet
  • Funktor: olyan értelmes kifejezés, ami nem individuumnév és nem mondat. Nyitott kifejezés, amibe be lehet helyettesíteni.
    • Predikátum: olyan funktor, ami nevekből mondatot képez.
    • Mondatfunktor: mondatokból összetett mondatokat képez
    • Névfunktor: nevekből összetett neveket képez
  • Deskripció: határozott individuumleírás
  • Deskriptor: operátor, ami nyílt formulából nevet képez

Motiváció

szerkesztés

Az individuumleírások (deskripciók) olyan kifejezések, melyek egy individuumot („alanyt”) egy kizárólag rá érvényes tulajdonsággal neveznek meg. A deskripciók két jelentősen különböző fajtája a határozott és a határozatlan individuumleírások.

Például: 'A Waverley szerzője' egy határozott individuumleírás, mert egyetlen individuumra utal, míg a 'A Principa Mathematica írója' határozatlan, mert Russell mellett szerzőtársára is utalhat.

A klasszikus logikában a határozatlan deskripciók – különösen, amelyek esetében nincs vagy nem dönthető el, hogy van-e olyan tárgy, amit megneveznek – gondot okoznak. Híres példa a „francia király” individuumleírás, amelynek van jelentése (bárki számára érthető), de nincs jelölete. Egy ilyen nevet mondatba foglalva: „A francia király kopasz”, számos nyelvfilozófus szerint olyan mondatokat kapunk, melyeket nem lehet kiértékelni – mások szerint az ilyen mondatot hamisnak kell kiértékelni. Ugyanúgy gondot jelentenek a többjelöletű deskripciók is, hiszen lehetséges olyan mondatokat találni, mely a benne szereplő individuumnév egyik jelöletére hamis, a másikra igaz. Pl. „A Principia Mathematica szerzőjének keresztneve Alfred” mondat igaz Whiteheadre, de hamis Russellre.

A kényelmetlen vita kényelmes, bár nem az egyedül lehetséges megoldásaként kínálkozik a deskripciók kiküszöbölése a formális nyelvekből. Ha viszont ezeket a leírásokat jól formált (nem kiküszöbölendő) terminusokként szeretnénk használni, akkor fel kell adnunk azt az elvet, hogy minden állításnak van igazságértéke. Ezáltal megjelenik az értékrés a logikában.

Elsőrendű értékréses logika felépítése

szerkesztés

Egy értékréses logika felépítéséhez egy adott logikai rendszerhez hozzávesszük a következőket:

  • Új logikai konstansok: deskriptor (I), és igaz, hogy funktor (+)
  • Ha A formula, akkor +A is formula
  • Ha A formula, és x változó, akkor Ix(A) terminus
  • Speciális objektumok az értékrés jelzésére: a nullentitás, ami a deskripciók esetleges jelölethiányt jelzi, és egy új jel, ami az igazságérték hiányát jelzi.

Centrális szemantikai fogalmak

szerkesztés
  • kielégíthetőség

Egy formula kielégíthető, ha van a változóknak olyan helyettesítése, amikre a formula értéke igaz.

  • kielégíthetetlenség

Egy formula kielégíthetetlen, ha nincs a változóknak olyan helyettesítése, amikre a formula értéke igaz.

  • következményreláció
  • cáfolhatatlanság

Egy formula cáfolhatatlan, ha sohasem hamis.

  • érvényesség

Egy formula érvényes, ha mindig igaz.

Az értékrés öröklődése

szerkesztés
  • Ha a deskripció csak egy individuumra igaz, akkor a jelölet az adott individuum; egyébként a jelölet a nullentitás.
  • Ha egy atomi formula olyan terminust tartalmaz, aminek jelölete a nullentitás, akkor a formulának nincs igazságértéke (értékrés)
  • Ha egy formula igazságérték nélküli, akkor tagadása is igazságérték nélküli. Ha egy konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia egyik tagjának nincs igazságértéke, akkor az egésznek sincs igazságértéke.
  • Az igazságérték hiánya a kvantorokon át is továbböröklődik.
  • Ha egy állítást ellátunk a + funktorral, akkor az így kapott állítás igazságértéke igaz, ha az eredeti állítás igaz volt, és hamis, ha nem (hamis, vagy igazságérték nélküli).

A modális logika szemantikájában

szerkesztés

Az értékréses modális logikában az értékrés tovább öröklődik a modális funktorokon át is.

Az értékréses modális logikai világaiban az értékrés figyelembe vételével néhány fontos formula jelentése módosul. Így   jelentése: A egy világban sem hamis. Hasonlóan,   jelentése: A néhány világban nem hamis.

A nulladrendű értékréses modális logikát Q-rendszernek is nevezik.

Bármely modális kalkulus szerint felépíthető elsőrendű értékréses modális rendszer.

Az értékrés forrásai

szerkesztés

Az igazságérték hiányának több oka lehet. Az egyik a jelölet nélküli nevek esete; a másik pedig az, hogy bizonyos világokban nem minden predikátum alkalmazható minden individuumra. Például az emberek halmazán nem alkalmazhatók matematikai predikátumok, vagy a számok halmazán színpredikátumok.

Az értékréses modális világokban nincs világ értékrés nélkül. Például az „Ez a mondat hamis.” állításnak egy világban sem lehet igazságértéke.

Felépítése

szerkesztés
  • A változók halmaza ugyanaz, mint egyébként.
  • A deskriptív konstansok halmaza névkonstansokat és predikátumokat tartalmaz.
  • A változók és a névkonstansok terminusok.
  • Ha A formula, és x változó, akkor Ix(A) terminus.
  • Ha egy predikátumba terminusokat helyettesítünk, akkor formulát kapunk.
  • Ha t1 és t2 terminus, akkor t1 = t2 formula.
  • Ha   formula, akkor  ,  ,   formula
  • Ha   és   formula, akkor   is formula.
  • Ha A formula, és x változó, akkor   formula.
  • Modalizált formulák:
    • Ha A formula, akkor  ,   modalizált formula
    • Ha A modalizált formula, akkor  ,  , és   is modalizált formula.

Az itt nem szereplő egyéb funktorokat definícióval vezetik be.

A változókat és a névkonstansokat merev terminusoknak nevezik. Ezek értéke minden világban ugyanaz, vagy eltűnik. A deskripciók nem merev terminusok; szintén nem merevek azok a terminusok, amik deskripciót tartalmaznak.

Helyettesíthetőség szempontjából a modalizált formulákra a következőket kell kikötni: ha a formulában x-nek van szabad modalizált előfordulása, akkor x helyére csak merev terminus helyettesíthető.

Interpretáció

szerkesztés

Egy interpretáció kielégíti a következőket:

  • W a lehetséges világok nem üres halmaza.
  • R láthatósági reláció.
  • U az individuumok halmaza.
  •   nullentitás, ami nem eleme az individuumok halmazának.
  • d a W halmazon értelmezett függvény, ami megmondja, hogy egy világban milyen individuumok fordulnak elő.
  •   a deskriptív konstansok halmazán definiált interpretálófüggvény. Névkonstansokra alkalmazva individuumot ad vissza. Egy adott világban predikátumnak az adott világban létező individuumot, vagy nullentitást feleltet meg. Ha P mondatparaméter, akkor igazságértéket ad vissza, ami csak a világtól függ.

Az R láthatósági relációra különböző kikötéseket lehet tenni, ezzel különböző értékréses modális rendszerekhez lehet jutni.

Kvantifikáció

szerkesztés

Az értékréses modális rendszerekben kétféle univerzális kvantor használható.

  • Gyenge univerzális kvantor

Definíció:  

Ezt a kvantort azért nevezik gyengének, mert ha d(w) üres, akkor értéke igaz a w világban.

  • Erős univerzális kvantor

Degenerálja az állítást, ha d(w) üres. Ez jobban megfelel az értékréses szemléletnek.

Definiálásához egy új fogalom kell, ami szintén csak értékréses logikában létezhet.

Jelölje   a következő formulát:

 I 

Elfajulása az individuumtartomány ürességét jelzi.

Ezzel az erős univerzális kvantor így fejezhető ki:

 

Néhány logikai törvény

szerkesztés
  • A modus ponens szabálya nem örökíti a cáfolhatatlanságot, de az igazságot és vele az érvényességet igen.
  • Azok a sémák, amik a nulladrendű logikában érvényesek, nem mind érvényesek az értékréses rendszerekben. Viszont cáfolhatatlanságuk megmarad.
  • Ha A cáfolhatatlan, akkor erős vagy gyenge univerzális kvantorral ellátva is cáfolhatatlan.
  • Modális törvények
    • Ha A cáfolhatatlan, akkor   érvényes.
    • Ha A érvényes, akkor   is érvényes.
    •   érvényes, ha   erős szükségszerűséget jelent; ha   gyenge szükségszerűséget jelöl, akkor cáfolható.
    • Ha   érvényes, akkor   és   is érvényes.

Modális törvények az R láthatósági reláció tulajdonságainak függvényében

szerkesztés

Az R láthatósági reláció különböző tulajdonságai különböző cáfolhatatlan sémákhoz vezetnek:

  • R reflexív

A  ,  , és az   sémák cáfolhatatlanok

  • R minden világhoz hozzárendel legalább egy másik világot

  érvényes, de   cáfolható.

  • R tranzitív

  és   érvényes.

  • R szimmetrikus

  és   cáfolhatatlan.

  • R ekvivalenciareláció

  és   érvényes.

  • Ruzsa Imre–Máté András: Bevezetés a modern logikába