A matematikai logikában konjunkció vagy más néven logikai és alatt egy olyan kétváltozós logikai műveletet értünk, amelynek a logikai értéke pontosan akkor igaz, ha mind a két operandusának igaz a logikai értéke. Jelben

igaz akkor és csak akkor, ha igaz, és is igaz.

A művelet jele többnyire , de előfordul is. Ez utóbbi a szorzással való kapcsolatára utal.

Kapcsolódó fogalmak:

  • A hálókban a legnagyobb alsó korlát.
  • Halmazelméletben a metszet művelet.
  • A predikátumlogikában az univerzális kvantor.
  • A programozásban a rövidzáras és (and).

JelölésSzerkesztés

A konjunkciót rendszerint infix operátor jelöli. A matematikai logikában , & vagy × ; az elektronikában ; programozási nyelvekben &, &&, vagy and. A Jan Łukasiewicz által bevezetett lengyel jelölésben a konjunkció jele K, a lengyel koniunkcja szóból.[1]

DefinícióSzerkesztés

A p és q ítéletek konjunkcióját a következő igazságtáblázat definiálja:

p q
igaz igaz igaz
igaz hamis hamis
hamis igaz hamis
hamis hamis hamis

ahol   a konjunkció jele.

A konjunkció egységelme az igaz, ami azt jelenti, hogy az és műveletet az igaz elemmel elvégezve visszakapjuk a másik elemet. Így értelmezhető az üres konjunkció, és annak értéke igaz.

Azokban a rendszerekben, ahol a konjunkció nem primitív elem, ott definiálható, mint:[2]

 

vagy

 

TulajdonságaiSzerkesztés

Tetszőleges   ítéletek esetén teljesülnek a következő állítások:

 
 
 
  • Igazságőrző, azaz, ha mindkét tényezője igaz, akkor a konjunkció is igaz.
  • Hamisságőrző, azaz, ha mindkét tényezője hamis, akkor a konjunkció is hamis.
  • A konjunkció disztributív a diszjunkcióra, azaz
 
  • A diszjunció disztributív a konjunkcióra, azaz
 
  • Önmagára és a kizáró vagyra is disztributív.
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek az elnyelési tulajdonságok (abszorptivitás), azaz
 , és
 
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek a De Morgan azonosságok, azaz
 , és
 
  • Végül fennáll a dualitás elve, azaz ha felcseréljük a konjunkciót és a diszjunkciót, valamint az igaz és a hamis logikai konstansokat, akkor az állítás igazságértéke megmarad.
  • Walsh-spektruma: (1,-1,-1,1)
  • Nemlinearitás: 1, ami azt jelenti, hogy annyira különbözik a leneáris és affin függvényektől, amennyire csak lehet.
  • Ha az igazat 1, a hamisat 0 jelöli, akkor a konjunkció ugyanaz, mint az aritmetikai szorzás.

TagadásSzerkesztés

Egy   hamissága belátható, ha bizonyítható, hogy   vagy  . Jelekkel:

 

Ez a képlet az

 

speciális esetének tekinthető, ahol   hamis.

Ha   implikálja, hogy  , akkor   és   esetén is

 

Más szavakkal, a konjunkció hamissága belátható akkor is, ha a tényezők igazságtartalma nem ismert, de a köztük levő kapcsolat ismert. Ez a képlet az

 

speciális esetének tekinthető, ahol   hamis.

Venn-diagramSzerkesztés

"A és B" Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész konjunkció esetén)

 

Három elem, "A, B és C" konjunkciójának Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész konjunkció esetén)

 
 

Bevezetése és kivezetéseSzerkesztés

A konjunkció bevezetése klasszikusan érvényes, egyszerű érvelési forma. Az érvelésnek két premisszája van, ezeket jelölje A és B. Intuitívan bevezethető a konjunkció:

A,
B.
Tehát A és B.

Logikai operátorokkal:

 
 
 

Példa a konjunkció bevezetésére:

Bob szereti az almát.
Bob szereti a narancsot.
Tehát Bob szereti az almát és Bob szereti a narancsot.

A konjunkció kivezetése klasszikusan érvényes, egyszerű érvelési forma. Intuitívan, a konjunkcióból az összes tényező következik:

A és B.
Tehát A.

...vagy alternatívan:

A és B.
Tehát B.

Logikai operátortokkal:

 
 

...vagy alternatívan:

 
 

A többértékű logikákbanSzerkesztés

A többértékű logikákban a konjunkciót a permanenciaelv szerint úgy terjesztik ki, hogy minél több tulajdonságát megőrizzék. Ezek közül a legfontosabb az asszociativitás és a kommutativitás. Egy többértékű   konjunkciónak ezeknek a tulajdonságoknak kell eleget tennie:

  • Kommutativitás:  
  • Asszociativitás:  
  • Monotónia:  
  • Egységelem:  

További értelmes, de nem szükséges tulajdonságok a folytonosság és az idempotencia.

A három értékű logikákban bevezethetők például a következő konjunkciók:

Jan Łukasiewicz Ł3 logikájában (1920) a konjunkció kiterjesztése a minimumfüggvény:

     
1 1 1
1 0,5 0,5
1 0 0
0,5 1 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0 0
0 1 0
0 0,5 0
0 0 0

Dimitri Analtoljewitsch Bočvar (1938) B3 logikájában:

     
1 1 1
1 0,5 0,5
1 0 0
0,5 1 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0 0,5
0 1 0
0 0,5 0,5
0 0 0

Halmazelméleti megfelelőSzerkesztés

A halmazelméleti metszetbe való tartozás logikai éssel fogalmazható meg: xAB akkor és csak akkor, ha (xA) ∧ (xB). E megfeleltetés alapján a metszet több tulajdonságban is osztozik a logikai konjunkcióval, mint az asszociativitás, kommutativitás és idempotencia.

Természetes nyelvSzerkesztés

Az emberi nyelvek logikája nem teljesen feleltethető meg a matematikai logikának. Nincs ez másként az éssel sem.

A logikai konjunkció nem fedi le teljesen az és szó használatát, mivel az kifejezhet időbeli sorrendet is. Például az Összeházasodtak és gyerekük született. mondatot úgy szokás értelmezni, hogy a házasság megelőzte a gyerek születését.

Egy harmadik jelentés szerint az egyes tulajdonságoknak az alany részei felelnek meg. Például Az amerikai zászló piros, kék és fehér. mondat azt fejezi ki, hogy az egyes részek színe piros, fehér vagy kék, és nem az egész zászló bír egyszerre a három színnel.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim.
  2. Smith, Peter: Types of proof system

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Logical conjunction című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.