A matematikai logikában diszjunkció vagy más néven logikai "vagy" alatt egy olyan kétváltozós logikai műveletet értünk, amelynek a logikai értéke akkor és csak akkor hamis, ha mind a két operandusának hamis a logikai értéke. Másként megközelítve: a diszjunkció akkor igaz, ha bármely operandusának igazságértéke igaz. A logikai értelemben vett vagy műveletnek a fentiek értelmében eltérő jelentése van a hétköznapi "vagy" szavunkhoz képest. Természetes nyelven ugyanis a "vagy" szó alatt a "kizáró vagy" műveletét szoktuk érteni, azaz amikor az operandusok közül egyszerre csak az egyik igaz, a kettő együtt nem. Ez a logikai vagy művelettel nem ekvivalens. Például, amikor azt mondjuk, hogy "Küldd el sms-ben, vagy e-mailben!", az alatt azt értjük, hogy vagy az egyik, vagy a másik úton kérjük az adatot, nem azt, hogy mind a két módon szeretnénk megkapni. A hétköznapi beszédben ilyenkor inkább "és"-t mondunk.

Vagy-kapu

A diszjunkció jele ∨ vagy +. Logikai összeadásnak nevezik, habár erre a kizáró vagy lenne a jobb jelölt.

  • Előfordul, hogy a köznyelvben a vagy kötőszó használata nem kizáró. Például: Szerencséje volt, vagy jól tanult. nem zárja ki azt, hogy mindkét esemény bekövetkezett.
  • Programozási nyelvekbe a vagyot gyakran rövidzáras vagy valósítja meg, ami csak akkor vizsgálja meg a második tagot, ha az első hamis.
  • A halmazelméletben az unió.
  • A predikátumlogikában az egzisztenciális kvantor.

DefinícióSzerkesztés

A p vagy q ítéletek diszjunkcióját a következő igazságtáblázat definiálja:

p q
igaz igaz igaz
igaz hamis igaz
hamis igaz igaz
hamis hamis hamis

ahol   a diszjunkció jele.

A diszjunkció egységeleme a hamis, ami azt jelenti, hogyha az egyik tag hamis, akkor a diszjunkció igazságértéke megegyezik a másik tag igazságértékével. Ezért, ha kiterjesztik a műveletet több, illetve kevesebb operandusra, akkor az üres vagy hamis.

TulajdonságaiSzerkesztés

Tetszőleges   ítéletek esetén teljesülnek a következő állítások:

 
 
 
  • A diszjunkció monoton, vagyis
  • monotonicity:  
 
 
  • A diszjunkció disztributív a konjunkcióra, azaz
 
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek az elnyelési tulajdonságok (abszorptivitás), azaz
 
 
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek a De Morgan azonosságok, azaz
 , és
 
  • Végül fennáll a dualitás elve, azaz ha felcseréljük a konjunkciót és a diszjunkciót, valamint az igaz és a hamis logikai konstansokat, akkor az állítás igazságértéke megmarad.
  • Igaztartó, illetve hamistartó, ami azt jelenti, hogy:
ha egy diszjunkció minden tagja igaz, akkor a konjunkció igaz
ha egy diszjunkció minden tagja hamis, akkor a diszjunkció hamis

Halmazelméleti megközelítésSzerkesztés

A diszjunkció művelete a halmazelméletben megfelel az unió műveletének. "A vagy B" Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész diszjunkció esetén)

 

 
Háromtagú diszjunkció,   Venn-diagramja

Alkalmazása a számítástudománybanSzerkesztés

A legtöbb programozási nyelvben létezik diszjunkció önálló műveletként. Két fajtáját meg is különböztethetjük, tipikusan már a forráskódban is másként jelölve.

Logikai diszjunkcióSzerkesztés

Megfelel a fentebb tárgyaltaknak, azaz két operandus (feltétel) közül az egyik teljesülése esetén a futás az elágazás igaz ágán folytatódik. Általában ha az egyik feltétel igaznak bizonyult, a többi már nem is értékelődik ki, a futásidővel való spórolás okán. Jelölése C nyelven pl. "||", Pythonban az "or" kulcsszóval történik.

if ((a < 0) || (a > 10)) { return true; } // Ha az a kisebb lesz 0-nál, vagy nagyobb 10-nél, igazat adunk vissza

Bitszintű diszjunkcióSzerkesztés

Ekkor a vagy műveletét tipikusan egy számon végezzük el, bitenként. Amennyiben egy adott helyiértéken legalább az egyik operandus 1, akkor az eredmény is 1 lesz. Például ha a = 1100 (=12), b = 1010 (=10):

  • a = 1100
  • b = 1010
  • | = 1110

Tehát az eredményünk 14 lesz. Ezen műveletet pl. C nyelven egy "|" jellel tüntetjük fel.

Halmazelméleti megfelelőSzerkesztés

A halmazelméleti unióba való tartozás logikai vaggyal fogalmazható meg: xAB akkor és csak akkor, ha (xA) ∨ (xB). E megfeleltetés alapján az unió több tulajdonságban is osztozik a logikai diszjunkcióval, mint az asszociativitás, kommutativitás és idempotencia.

Természetes nyelvSzerkesztés

Az emberi nyelvek logikája nem teljesen feleltethető meg a matematikai logikának. Nincs ez másként a vaggyal sem.

A nyelvekben általában a vagyot kizáró értelemben használják. Ha arról van szó, hogy valakit értesítsenek valahogyan, akkor mondhatja azt, hogy: Kérem, értesítsenek telefonon vagy e-mailben. A nem kizáró használatra példa, ha valaki a jó jegyeit azzal szerezte meg, hogy okos, vagy szorgalmasan tanult. Ebben az esetben a beszélő nem állítja, hogy az egyik kizárná a másikat.

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Logical disjunction című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés