Idempotencia

A matematikában az idempotencia a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Idempotensnek nevezzük egy algebrai struktúra valamely elemét a struktúra egy adott kétváltozós műveletére nézve, ha azokban az esetekben, amikor a művelet mindkét operandusa megegyezik az adott elemmel, akkor a művelet eredménye is megegyezik az operandusokkal, azaz a megadott elemmel. Idempotens műveletről beszélünk, ha az adott műveletre nézve a struktúra minden eleme idempotens.

Gyűrűk esetén az idempotenciát mindig a gyűrű szorzás műveletére nézve vizsgáljuk.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges grupoid. Ha valamely $a\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot a=a$, akkor azt mondjuk, hogy az $a\in A$ idempotens elem az $(A;\cdot )$ grupoidban. Ha minden $a\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot a=a$, akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet idempotens az $(A;\cdot )$ grupoidban.

Tulajdonságok

• Gyűrű minden olyan idempotens eleme, amely nem nulla és nem egység, zérusosztó.
• Bármely $(A;\cdot )$ félcsoport tetszőleges $a\in A$ idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha $a$ balegységelem.

Példák

• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve idempotens.
• Tetszőleges háló metszet és egyesítés műveletei is idempotensek

Idempotens leképezések

Ha a definícióban szereplő $(A;\cdot )$ grupoid egy tetszőleges $H$ halmaz leképezéseiből áll (a művelet pedig a leképezések szokásos kompozíciója), akkor $A$ elemeit idempotens leképezésnek nevezzük. Egy $f\in A$ (azaz $f:H\rightarrow H$) leképezés tehát akkor idempotens, ha $f(f(x))=f(x)$ minden $x\in H$-ra. Triviális példa az idempotens leképezésre minden konstans függvény, valamint a minden elemet helyben hagyó identitásfüggvény is, de közismert idempotens leképezés a komplex vagy valós számokon értelmezett abszolútérték-függvény is.

Informatikai jelentése

Az informatikában gyakran idempotensnek nevezünk egy műveletet, ha ugyanazt az eredményt adja egyszer, illetve többször alkalmazva. Ilyen például a HTTP Get kérés (a Post-tal szemben).

Kapcsolódó szócikkek

• Műveleti tulajdonságok

Hivatkozások

• Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)