Basel-probléma

A matematikában a Basel-probléma az analízis egy híres problémája, melyet Pietro Mengoli (1626–1686) olasz matematikus vetett fel 1644-ben, és Leonhard Euler (1707–1786) svájci matematikus oldott meg először 1735-ben. A problémát Euler általánosította, és az ötlet alapján Bernhard Riemann (1826–1866) német matematikus definiálta a zéta-függvényt (Riemann-féle zéta-függvény), és levezette alapvető tulajdonságait.

A problémát azért hívják „Basel”-nek, mert első megoldója, Euler, itt született, valamint a nevezetes Bernoulli család is innen származik, akik nem tudtak megbirkózni ezzel a problémával. Az alapvető kérdés az volt, hogy vajon a

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

kifejezés konvergens, és ha igen, akkor mi az értéke?

Ha sorbafejtjük, akkor a

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)$

végtelen sort kapjuk a természetes számok négyzetei reciprokainak összegére, melynek közelítő értéke: 1,644934.

A Basel-probléma azt kérdezi, hogy létezik-e egy zárt formula a kifejezésre, és mennyi az egzakt érték. Euler megtalálta a pontos értéket: ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$, és levezette az eredményt 1735-ben. A szigorúan precíz bizonyítást 1741-ben publikálta. Utána még számos matematikus foglalkozott a témával, és produkált különféle bizonyításokat.

Euler megoldása

Euler eredeti levezetése igazolást igényelt. Ez meg is történt 100 évvel később, amikor Weierstrass bebizonyította Euler levezetését (Weierstrass-féle faktorizációs tétel).

Kövessük Euler gondolatmenetét: A szinusz függvény Taylor-sora:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .$

x-szel elosztva mindkét oldalt:

${\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .$

A sin(x)/x (sinc-függvény) az x tengely metszésénél $x=n\cdot \pi$ ahol $n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \,.$ Tegyük fel, hogy ezt a végtelen sort ki tudjuk fejezni lineáris tényezők szorzataként, figyelembe véve x zéró helyeit, ahogy véges polinomok esetén tesszük:

${\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&{}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots .\end{aligned}}$

Ha kiszorozzuk és felírjuk az x² tényezőket, akkor a sin(x)/x x²-es tényezőire kapjuk:

$-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

mivel az eredeti végtelen sorban az x² együtthatója: -1/(3!) = -1/6, a két együtthatónak egyenlőnek kell lenni, és így:

$-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Mindkét oldalt megszorozva $-\pi ^{2}$-tel, kapjuk a végeredményt

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Irodalom

• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  
• Derbyshire, John: Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. (hely nélkül): Joseph Henry Press. 2003. ISBN 0-309-08549-7  

Kapcsolódó szócikkek

• Számelmélet
• https://web.archive.org/web/20071027221932/http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Matematikai statisztika