Dinamikai rendszer (definíció)
- Ez a szócikk a dinamikai rendszer fogalmának formális definícióiról szól. A dinamikai rendszerekről általában a fő szócikkben találhatók további ismeretek.
Egy dinamikai rendszer lényegében olyan matematikai objektumrendszer, mely pontok adott absztrakt térben történő mozgását modellezi konkrét törvényszerűségek mellett. A pont az idő előrehaladtával más és más pályát futhat be aszerint, hogy a tér mely pontjáról indítottuk. A dinamikai rendszereknél lényeges, hogy maga a törvényszerűség nem függ az idő múlásától, ahogy a newtoni dinamika törvényei sem függnek. Innen a „dinamikai” jelző.
Természetesen az absztrakt matematikai definíció szerint a tér lehet akármilyen topologikus tér, az időpillanatok helyett pedig nem csak a valós számegyenes pontjai állhatnak, hanem akár komplex számok is, sőt akármilyen additív félcsoport, akár diszkrét sokaság is.
Az absztrakt definíciókról
szerkesztésA dinamikai rendszer definíciójának két fajtáját két szemlélet motiválja. Az egyik az autonóm (időfüggetlen) közönséges differenciálegyenletek, megoldásainak összességének személetes képe, a másik a mértékelméleti, ergodelméleti szemlélet. A mértékelméleti gondolat alapja az áramló folyadék viselkedése. Az ideális folyadék összenyomhatatlan, áramlása közben egy kiszemelt folyadékrész térfogata nem változik, csak az alakja. Ez a térfogatmérték-tartás, az invariáns mérték létezését feltevő ergodelméleti dinamikai rendszerek intuitív képének eredete. A két szemlélet között a Krilov–Bogoljubov-tétel teremt kapcsolatot, mely metrikus tér invariáns mértékének egzisztenciáját állítja egy, a téren ható folytonos leképezésre vonatkozóan.
Általános definíció
szerkesztésDinamikai rendszeren olyan (T, M, Φ) hármast értünk, melyben T egy monoid a + művelettel, M tetszőleges nemüres halmaz és Φ az alábbi tulajdonságoknak eleget tévő függvény:
mellyel
- minden -re.
A Φ(t,x) függvény a rendszer időfejlődési függvényének nevezzük. Φ felfogható úgy, mint egy olyan hozzárendelés, mely az M halmaz minden x pontjához egy I(x) halmazon értelmezett, M-be érkező függvényt rendel. M-et még fázistérnek, x-et kezdeti állapotnak is nevezzük.
Szokásos jelölés még:
amennyiben az egyik változót (az első esetben x-et, a második esetben t-t) rögzítjük. A rendszeraxiómák következménye, hogy ha Φ folytonos egy M feletti topológiában, akkor rögzített t-re Φt:M M homeomorfizmus (invertálható és inverzével együtt folytonos leképezés) és az inverze Φ−t.
Látható, hogy Φ pedig monoidhomomorfizmus T műveletére és az M M típusú leképezések közötti kompozícióra nézve:
A
függvény az x ponton áthaladó áramvonal, melynek képhalmaza az x-en átmenő trajektória. A
függvény az x-en áthaladó pálya.
Az M tér egy H részhalmazát Φ-invariánsnak nevezzük, ha H minden x elemére t „időpontra”
azaz a pályák nem hagyják el H-t.
Geometriai jellegű dinamikai rendszerek
szerkesztésEzekben az esetekben M sokaság vagy gráf.
Valós idejű dinamikai rendszerek
szerkesztésSpeciális esetben (T, M, Φ)-ben T egy nyílt intervalluma R-nek, M differenciálható sokaság (lokálisan diffeomorf egy Banach-térrel, például véges dimenziós esetben minden pont egy nyílt környezetében invertálható és inverzével együtt differenciálható megfeleltetésbe hozható Rn egy nyílt részhalmazával), és Φ folytonos a T × M szorzatsokaságon. A T=R esetben a rendszert globálisnak nevezzük. Ha T a nemnegatív valós számok halmaza (kizárjuk az negatív időt), akkor persze + csak félcsoport-művelet. Ha Φ folytonosan differenciálható, akkor differenciálható dinamikai rendszerről beszélünk. Rn-nel lokálisan diffeomorf rendszer esetén véges, egyébként végtelen dimenziós a dinamikai rendszer.
Diszkrét dinamikai rendszer
szerkesztésDiszkrét idejű dinamikai rendszer esetén (T, M, Φ)-ben T az egészek vagy a nemnegatív egészek halmaza, M differenciálható sokaság.
Példa differenciálegyenletből definiált dinamikai rendszerre
szerkesztésA dinamikai rendszerek létrejöttének fő motivációja a dinamikában szereplő közönséges differenciálegyenletek. Legyen f(t,x) olyan folytonos függvény, mely R × R3-ból képez R3-ba, x0 adott pont a térben. Ekkor a
kezdetérték-feladat azt kívánja meghatározni, hogy f által szabályozott sebességű test milyen pályát fut be, amennyiben az x0 pontból indítjuk.
- autonómnak nevezzük, a rendszert, ha f nem függ az időtől és
- homogénnek, ha minden -re, azaz a nullából induló megoldások mind a nullában maradnak.
Ha tekintjük minden x0-ra az egyenlet megoldásait, akkor a differenciálegyenlet
megoldásai a dinamikai rendszert alkotják.
szemléletes jelentése a következő. Az x pontból induló megoldás t1 idő elteltével az y = Φ(t1,x) pontba érkezik. Az y pontból induló megoldás t2 idő elteltével ugyanoda érkezik, mint ahova az x pontból érkező megoldás t1 + t2 idő múlva, azaz a Φ(t2,y) = Φ(t1 + t2,x) pontba.
További információk
szerkesztés- I. D. Chuesov "Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems" [1].